(2,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M  là trung điểm của SC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) và giao điểm E của AM và \(\left( {SBD} \right)\).

b) Tìm giao điểm của P của SB và mặt phẳng \(\left( {MAD} \right)\).

c) Gọi F là điểm nằm trên cạnh BC. Gọi N  là giao điểm của AF và BD, K là giao điểm của AF và CD, I là giao điểm của KM và SD. Chứng minh rằng N, E, I thẳng hàng.

Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\), ta có:

Điểm \(S\) là điểm chung thứ nhất: \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), \(O = AC \cap BD\).

\( \Rightarrow O\) là điểm chung thứ hai: \(O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Kết luận: Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng \(SO\): \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\)

0,5

Chọn mặt phẳng phụ chứa \(AM\) là mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ \(\left( {SAC} \right)\) và mặt phẳng cần tìm \(\left( {SBD} \right)\), theo chứng minh trên ta có: \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(E = AM \cap SO\).

Vì \(E \in SO\) mà \(SO \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow E \in \left( {SBD} \right)\).

Kết luận: Giao điểm của \(AM\) và \(\left( {SBD} \right)\) chính là điểm \(E\).

0,5

Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), vì \(ABCD\) là hình bình hành nên hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) song song với nhau.

Xét hai mặt phẳng \(\left( {MAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\):

Có điểm \(M\) chung.

Có hai đường thẳng \(AD \subset \left( {MAD} \right)\) và \(BC \subset \left( {SBC} \right)\) song song với nhau.

Theo định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song, giao tuyến của \(\left( {MAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng \(Mx\) đi qua \(M\) và song song với cả \(AD\) và \(BC\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), đường thẳng \(Mx\) (qua \(M\) song song với \(BC\)) sẽ cắt cạnh \(SB\) tại điểm \(P\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(SC\) nên \(P\) sẽ là trung điểm của \(SB\) (theo định lý đường trung bình trong \(\Delta SBC\)).

Do \(P \in Mx \subset \left( {MAD} \right) \Rightarrow P \in \left( {MAD} \right)\).

Kết luận: Giao điểm của \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {MAD} \right)\) là trung điểm \(P\) của \(SB\).

0,5

Để chứng minh ba điểm \(N,E,I\) thẳng hàng, ta cần chứng minh chúng cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt. Ở đây, hai mặt phẳng đó là \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {AMK} \right)\).

Ta lần lượt xét vị trí của các điểm:

1. Xét điểm \(E\):

Theo câu a, \(E = AM \cap SO\).

Vì \(E \in SO \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow E \in \left( {SBD} \right)\).

Vì \(E \in AM \subset \left( {AMK} \right) \Rightarrow E \in \left( {AMK} \right)\).

\( \Rightarrow E\) là điểm chung của \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {AMK} \right)\). (1)

2. Xét điểm \(N\):

Theo giả thiết, \(N = AF \cap BD\).

Vì \(N \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow N \in \left( {SBD} \right)\).

Vì \(N \in AF \subset \left( {AMK} \right) \Rightarrow N \in \left( {AMK} \right)\).

\( \Rightarrow N\) là điểm chung của \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {AMK} \right)\). (2)

3. Xét điểm \(I\):

Theo giả thiết, \(I = KM \cap SD\).

Vì \(I \in SD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow I \in \left( {SBD} \right)\).

Vì \(I \in KM \subset \left( {AMK} \right) \Rightarrow I \in \left( {AMK} \right)\).

\[ \Rightarrow I\] là điểm chung của \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {AMK} \right)\). (3)

Từ (1), (2) và (3), ta thấy cả ba điểm \(N,E,I\) đều cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {AMK} \right)\).

Kết luận: Ba điểm \(N,E,I\) thẳng hàng (đpcm).

0,5