Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thang (\(AB{\rm{//}}CD\)). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trọng tâm của  và .

a) Lấy \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\). Chứng minh rằng \(EF{\rm{//}}MN\). Từ đó chứng minh \(EF{\rm{//}}AB\).

b) Xác định giao tuyến \(d\) của mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\). Chứng minh \(d{\rm{//}}EF\).

a) Vì \(E\) là trọng tâm  với đường trung tuyến \(SM\) (\(M\) là trung điểm \(AD\)) nên \(E \in SM\) và thỏa mãn \(\frac{{SE}}{{SM}} = \frac{2}{3}\).

Tương tự, \(F\) là trọng tâm  với đường trung tuyến \(SN\) (\(N\) là trung điểm \(BC\)) nên \(F \in SN\) và thỏa mãn \(\frac{{SF}}{{SN}} = \frac{2}{3}\).

Xét tam giác \(SMN\), ta có: \(\frac{{SE}}{{SM}} = \frac{{SF}}{{SN}} = \frac{2}{3}\).

Theo định lý Thales đảo trong tam giác \(SMN\), suy ra \(EF{\rm{//}}MN\).

Mặt khác, trong hình thang \(ABCD\), \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên \(AD\) và \(BC\) nên \(MN\) là đường trung bình của hình thang \( \Rightarrow MN{\rm{//}}AB\).

Từ hệ thức bắc cầu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{EF{\rm{//}}MN}\\{MN{\rm{//}}AB}\end{array} \Rightarrow EF{\rm{//}}AB} \right.\).

b) Trong \(\Delta SAD\), vì \(E\) là trọng tâm nên đường thẳng \(AE\) chính là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(A\).

Gọi \(P\) là trung điểm của \(SD\). Khi đó, \(P\) phải thuộc đường thẳng \(AE\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P \in AE \subset \left( {AEF} \right)}\\{P \in SD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array} \Rightarrow P \in \left( {AEF} \right) \cap \left( {SCD} \right)} \right.\).

Vậy \(P\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Xét hai mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\), ta có:

\(P\) là điểm chung của hai mặt phẳng.

Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) chứa đường thẳng \(EF\).

Mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) chứa đường thẳng \(CD\).

Mà \(EF{\rm{//}}CD\) (vì cùng song song với \(AB\)).

Theo định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song: Giao tuyến \(d\) của \(\left( {AEF} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) sẽ là đường thẳng đi qua điểm chung \(P\) và song song với cả \(EF\) và \(CD\).

Kết luận: Giao tuyến \(d\) là đường thẳng qua \(P\) (trung điểm \(SD\)) và song song với \(CD\) (đường thẳng \(d\) này cũng chính là đường trung bình \(PQ\) của \(\Delta SCD\), với \(Q\) là trung điểm của \(SC\)).

Theo cách xác định giao tuyến ở trên, đường thẳng \(d\) được dựng song song với \(CD\) và \(EF\).

Do đó, ta hiển nhiên có: \(d{\rm{//}}EF\).