PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (2 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(CB,CD\) và \(G\) là trọng tâm của $△SBD$. Biết \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\).

a) Xét hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\):

- Ta có điểm \(P \in BD\), mà \(BD \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow P \in \left( {BCD} \right)\). Do \(P \in \left( {MNP} \right)\) nên \(P\) là điểm chung thứ nhất.

- Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), xét hai đường thẳng \(MN\) và \(BC\). Do \(M\) là trung điểm của \(AB\)\(\left( {\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2}} \right)\) và \(N\) thỏa mãn \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) nên \(\frac{{AM}}{{AB}} \ne \frac{{AN}}{{AC}}\). Suy ra \(MN\) không song song với \(BC\), gọi \(K = MN \cap BC\).

- Vì \(K \in MN \subset \left( {MNP} \right)\) và \(K \in BC \subset \left( {BCD} \right)\) nên \(K\) là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là đường thẳng \(PK\).

b) Trong mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), gọi \(Q = PK \cap CD\). Vì \(PK \subset \left( {MNP} \right)\) nên \(Q = CD \cap \left( {MNP} \right)\).

Để tính tỉ số \(\frac{{QC}}{{QD}}\), ta áp dụng định lý Menelaus:

- Trước hết, xét  với cát tuyến \(M,N,K\) thẳng hàng ta có: \(\frac{{MA}}{{MB}} \cdot \frac{{KB}}{{KC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} = 1\).

Do \(M\) là trung điểm \(AB \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = 1\). Do \(AN = 2NC \Rightarrow \frac{{NC}}{{NA}} = \frac{1}{2}\).

Thay vào ta được: \(1 \cdot \frac{{KB}}{{KC}} \cdot \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{{KB}}{{KC}} = 2 \Rightarrow C\) là trung điểm của \(BK\).

- Tiếp theo, xét  với cát tuyến \(K,Q,P\) thẳng hàng ta có: \(\frac{{KB}}{{KC}} \cdot \frac{{QC}}{{QD}} \cdot \frac{{PD}}{{PB}} = 1\).

Theo giả thiết \(BD = 3PD \Rightarrow PB = 2PD \Rightarrow \frac{{PD}}{{PB}} = \frac{1}{2}\).

Khi đó \(2 \cdot \frac{{QC}}{{QD}} \cdot \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{{QC}}{{QD}} = 1\).

Vậy tỉ số \(\frac{{QC}}{{QD}} = 1\) (hay \(Q\) là trung điểm của cạnh \(CD\)).

Vì \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) (góc thuộc góc phần tư thứ II) nên ta có \({\rm{cos}}x < 0\).

Áp dụng hệ thức lượng cơ bản: \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow {\rm{cos}}x =  - \frac{4}{5}\).

Tính các giá trị lượng giác còn lại: \({\rm{tan}}x = \frac{{{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cos}}x}} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} =  - \frac{3}{4}\); \({\rm{cot}}x = \frac{1}{{{\rm{tan}}x}} =  - \frac{4}{3}\).