(1 điểm) Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AB\); \(N,P\) lần lượt là điểm thuộc cạnh \(AC,BD\) sao cho \(AN = 2NC\), \(BD = 3PD\).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\).

b) Gọi \(Q\) là giao điểm của \(CD\) với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{QC}}{{QD}}\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) (góc thuộc góc phần tư thứ II) nên ta có \({\rm{cos}}x < 0\).

Áp dụng hệ thức lượng cơ bản: \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow {\rm{cos}}x =  - \frac{4}{5}\).

Tính các giá trị lượng giác còn lại: \({\rm{tan}}x = \frac{{{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cos}}x}} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} =  - \frac{3}{4}\); \({\rm{cot}}x = \frac{1}{{{\rm{tan}}x}} =  - \frac{4}{3}\).

a) SAI: Vì \(S\) là đỉnh của hình chóp nên \(S\) không thuộc mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\).

b) ĐÚNG: Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\), ta thấy đỉnh \(S\) là điểm chung thứ nhất. Điểm \(O = AC \cap BD\) nên \(O\) thuộc cả hai mặt phẳng, là điểm chung thứ hai. Vậy giao tuyến là \(SO\).

c) ĐÚNG: Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(K = MN \cap AC\). Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD \Rightarrow MN{\rm{//}}BD\). Trong tam giác \(BCD\), đường thẳng \(MN\) song song với đáy \(BD\) sẽ cắt đường trung tuyến \(CO\) tại trung điểm của nó. Do đó, \(K\) là trung điểm của \(OC\). Vì \(K \in MN\) và \(K \in AC \subset \left( {SAC} \right)\) nên \(K\) chính là giao điểm của \(MN\) và \(\left( {SAC} \right)\).

d) SAI: Tìm giao điểm \(H = SA \cap \left( {GMN} \right)\): Chọn mặt phẳng chứa \(SA\) là \(\left( {SAC} \right)\). Ta thấy \(K = MN \cap \left( {SAC} \right)\). Mặt khác, \(G\) là trọng tâm  nên \(G \in SO \subset \left( {SAC} \right)\). Do đó, giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {GMN} \right)\) là đường thẳng \(GK\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(H = GK \cap SA \Rightarrow H = SA \cap \left( {GMN} \right)\).

Để tính tỉ số, áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(SAO\) với cát tuyến kéo dài \(HGK\) (trong đó \(A - O - C - K\) thẳng hàng):

Ta có \(K\) là trung điểm \(OC \Rightarrow CK = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{2}OA \Rightarrow AK = \frac{3}{2}OA\) và \(OK = \frac{1}{2}OA \Rightarrow \frac{{KA}}{{KO}} = 3\).

Vì \(G\) là trọng tâm  nên \(\frac{{GO}}{{GS}} = \frac{1}{2}\).

Theo định lý Menelaus: \(\frac{{HS}}{{HA}} \cdot \frac{{KA}}{{KO}} \cdot \frac{{GO}}{{GS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{HS}}{{HA}} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{{HS}}{{HA}} = \frac{2}{3}\).

Do \(H\) nằm trong đoạn \(SA\) nên \(\frac{{SH}}{{SA}} = \frac{2}{5}\).