Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \frac{{2025}}{{{\rm{cos}}x - 1}}.\)     

Đặt khoảng cách nằm tính từ vị trí vận động viên nằm bắn \(A\) đến chân bức tường vuông góc \(H\) là đại lượng \(AH = x\) với điều kiện \(x > 0\). Gọi \(B\) và \(C\) lần lượt là vị trí các hồng tâm mục tiêu bắn trúng trên tường. Xét hệ hai tam giác vuông lần lượt tại đỉnh chân tường \(H\), ta lập biểu thức hàm tang lượng giác:

            \({\rm{tan}}\alpha = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{25}}{x}\);

    \({\rm{tan}}\frac{\alpha }{2} = \frac{{CH}}{{AH}} = \frac{{10}}{x}\).

Sử dụng hệ thức góc nhân đôi của tang: \({\rm{tan}}\alpha = \frac{{2{\rm{tan}}\frac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}\).

Thế trực tiếp các phân số chứa ẩn biến \(x\) vào hệ thức phương trình: \(\frac{{25}}{x} = \frac{{2 \cdot \frac{{10}}{x}}}{{1 - {{\left( {\frac{{10}}{x}} \right)}^2}}}\).

Do \(x > 0\), ta triệt tiêu lượng biến mẫu \(\frac{1}{x}\) chung xuất hiện ở cả hai vế:

\(25 = \frac{{20}}{{1 - \frac{{100}}{{{x^2}}}}} \Leftrightarrow 1 - \frac{{100}}{{{x^2}}} = \frac{4}{5}\)\( \Leftrightarrow \frac{{100}}{{{x^2}}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow {x^2} = 500\).

Giải phương trình tìm độ dài khoảng cách dương ta được: \(x = \sqrt {500} = 10\sqrt 5 \approx 22,4{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)\).

Đáp số: \(22,4\).

a) ĐÚNG: Do tính tuần hoàn của hàm cosin với chu kỳ \(2\pi \), ta trừ bớt đại lượng \(18\pi \) ở cả hai đầu mút khoảng \(\left( {19\pi ;\frac{{79\pi }}{4}} \right)\), bài toán đưa về xét trên khoảng \(\left( {\pi ;\frac{{7\pi }}{4}} \right)\). Trên khoảng này, điểm biểu diễn chạy trên nửa dưới đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III và thứ IV, giá trị cosin liên tục tăng từ \( - 1\) lên đến \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\), tức là hàm số đồng biến.

b) ĐÚNG: Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) là tập đối xứng và ta luôn có \({\rm{cos}}\left( { - x} \right) = {\rm{cos}}x\) với mọi \(x\), đây chính là định nghĩa của hàm số chẵn.

c) SAI: Tập xác định của hàm số \(y = {\rm{cos}}x\) là \(D = \mathbb{R}\), còn khoảng \(\left[ { - 1;1} \right]\) là tập giá trị của hàm số.

d) SAI: Đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{4};\frac{{2\pi }}{3}} \right]\) chứa điểm \(x = 0\). Tại điểm này, \({\rm{cos}}0 = 1\). Vì 1 là giá trị lớn nhất tuyệt đối của hàm số cosin nên giá trị lớn nhất trên đoạn này phải bằng 1, không phải \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).