Một khối gỗ có dạng hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là một hình thang với đáy lớn \(AB = 8{\rm{dm}}\), đáy nhỏ \(CD = 4{\rm{dm}}\). Người ta cắt khối gỗ thành hai phần bởi một mặt phẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên của hình thang đáy và cắt hai cạnh bên của hình chóp sao cho mặt cắt đi qua bốn điểm đó là một hình bình hành. Trước khi cắt cần đánh dấu các điểm đó trên các cạnh. Em hãy xác định vị trí các điểm \(M\) trên đoạn \(SA\) sao cho \(SA = k \cdot MA\), điểm \(N\) trên đoạn \(SB\) sao cho \(SN = h \cdot NB\). Tính tổng giá trị \(k\) và \(h\).

__

Đặt khoảng cách nằm tính từ vị trí vận động viên nằm bắn \(A\) đến chân bức tường vuông góc \(H\) là đại lượng \(AH = x\) với điều kiện \(x > 0\). Gọi \(B\) và \(C\) lần lượt là vị trí các hồng tâm mục tiêu bắn trúng trên tường. Xét hệ hai tam giác vuông lần lượt tại đỉnh chân tường \(H\), ta lập biểu thức hàm tang lượng giác:

            \({\rm{tan}}\alpha = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{25}}{x}\);

    \({\rm{tan}}\frac{\alpha }{2} = \frac{{CH}}{{AH}} = \frac{{10}}{x}\).

Sử dụng hệ thức góc nhân đôi của tang: \({\rm{tan}}\alpha = \frac{{2{\rm{tan}}\frac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}\).

Thế trực tiếp các phân số chứa ẩn biến \(x\) vào hệ thức phương trình: \(\frac{{25}}{x} = \frac{{2 \cdot \frac{{10}}{x}}}{{1 - {{\left( {\frac{{10}}{x}} \right)}^2}}}\).

Do \(x > 0\), ta triệt tiêu lượng biến mẫu \(\frac{1}{x}\) chung xuất hiện ở cả hai vế:

\(25 = \frac{{20}}{{1 - \frac{{100}}{{{x^2}}}}} \Leftrightarrow 1 - \frac{{100}}{{{x^2}}} = \frac{4}{5}\)\( \Leftrightarrow \frac{{100}}{{{x^2}}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow {x^2} = 500\).

Giải phương trình tìm độ dài khoảng cách dương ta được: \(x = \sqrt {500} = 10\sqrt 5 \approx 22,4{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)\).

Đáp số: \(22,4\).

a) ĐÚNG: Ta có \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{11}}{{61}}} \right)^2} = \frac{{3600}}{{3721}}\). Vì góc thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\) (góc phần tư thứ IV) nên giá trị sin âm. Do đó, \({\rm{sin}}\alpha = - \sqrt {\frac{{3600}}{{3721}}} = - \frac{{60}}{{61}}\).

b) SAI: Sử dụng công thức cộng: \[{\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{6} - \alpha } \right) = {\rm{sin}}\frac{\pi }{6}{\rm{cos}}\alpha - {\rm{cos}}\frac{\pi }{6}{\rm{sin}}\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{{11}}{{61}} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \left( { - \frac{{60}}{{61}}} \right) = \frac{{11 + 60\sqrt 3 }}{{122}}\], giá trị này hoàn toàn khác với \(\frac{{11}}{{122}}\).

c) SAI: Tính các giá trị nhân đôi: \({\rm{sin}}2\alpha = 2{\rm{sin}}\alpha {\rm{cos}}\alpha = - \frac{{1320}}{{3721}}\) và \({\rm{cos}}2\alpha = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = - \frac{{3479}}{{3721}}\).

Áp dụng công thức cộng cho cosin: \({\rm{cos}}\left( {2\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{cos}}2\alpha {\rm{cos}}\frac{\pi }{3} - {\rm{sin}}2\alpha {\rm{sin}}\frac{\pi }{3} = \frac{{ - 3479 + 1320\sqrt 3 }}{{7442}}\), biểu thức dính căn thức nên không bằng phân số thuần túy đề bài cho.

d) ĐÚNG: Ta tìm được \({\rm{tan}}2\alpha = \frac{{{\rm{sin}}2\alpha }}{{{\rm{cos}}2\alpha }} = \frac{{1320}}{{3479}}\).

Khai triển biểu thức: \[{\rm{tan}}\left( {\frac{{3\pi }}{4} - 2\alpha } \right) = \frac{{{\rm{tan}}\frac{{3\pi }}{4} - {\rm{tan}}2\alpha }}{{1 + {\rm{tan}}\frac{{3\pi }}{4}{\rm{tan}}2\alpha }} = \frac{{ - 1 - \frac{{1320}}{{3479}}}}{{1 - \frac{{1320}}{{3479}}}} = - \frac{{4799}}{{2159}}\].