Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng \(AB = 5{\rm{\;km}}\). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng bằng \(7{\rm{\;km}}\). Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc \(4{\rm{\;km/h}}\) rồi đi bộ thẳng đến C với vận tốc \(6{\rm{\;km/h}}\). Xác định khoảng cách từ điểm M đến điểm B để người đó đến kho nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Kết quả: _____
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đặt khoảng cách \(BM = x{\rm{\;(km)}}\) với \(0 \le x \le 7\).
Khoảng cách từ \(M\) đến \(C\) là \(MC = 7 - x\) (km).
Xét tam giác vuông \(ABM\) tại \(B\), độ dài đường chèo thuyền là \(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = \sqrt {25 + {x^2}} \) (km).
Tổng thời gian di chuyển từ \(A\) qua \(M\) rồi đến \(C\) là: \(T\left( x \right) = \frac{{\sqrt {25 + {x^2}} }}{4} + \frac{{7 - x}}{6}\) (h).
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(T\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;7} \right]\) bằng cách lấy đạo hàm:
\(T'\left( x \right) = \frac{x}{{4\sqrt {25 + {x^2}} }} - \frac{1}{6}\);
\(T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x = 4\sqrt {25 + {x^2}} \Leftrightarrow 3x = 2\sqrt {25 + {x^2}} \)
\( \Rightarrow 9{x^2} = 4\left( {25 + {x^2}} \right) \Leftrightarrow 5{x^2} = 100 \Leftrightarrow {x^2} = 20 \Rightarrow x = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \approx 4,47{\rm{\;(km)}}\).
Ta có \(T\left( 0 \right) = \frac{{29}}{{12}} \approx 2,42;T\left( 7 \right) = \frac{{\sqrt {74} }}{4} \approx 2,15;T\left( {2\sqrt 5 } \right) = \frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}} \approx 2,1\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(T\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;7} \right]\) đạt tại \(x = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \approx 4,47{\rm{\;(km)}}\).
Kết quả: 4,47.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(f\left( 1 \right)\).
B. \(f\left( { - 1} \right)\).
C. \(f\left( { - 2} \right)\).
D. \(f\left( 0 \right)\).
Lời giải
Ta biến đổi đạo hàm: \(f'\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\).
Nghiệm của \(f'\left( x \right) = 0\) là \(x = - 2\), \(x = 1\), và \(x = - 1\) (nghiệm bội chẵn).
Xét dấu \(f'\left( x \right)\):
Khi \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\), \(f'\left( x \right) > 0\).
Khi \(x \in \left( { - 2;1} \right)\), \(f'\left( x \right) < 0\) (qua \(x = - 1\) không đổi dấu).
Khi \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), \(f'\left( x \right) > 0\).
Do qua điểm \(x = 1\), đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm \(\left( - \right)\) sang dương \(\left( + \right)\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\). Giá trị cực tiểu tương ứng là \(f\left( 1 \right)\).
Chọn A.
Câu 2
A. \(\left( {1;2} \right)\).
B. \(\left( {0;2} \right)\).
C. \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
D. \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Lời giải
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 3x + 1 - {x^2} + x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Xét dấu \(y'\): \(y' < 0\) khi \(x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;2} \right)\).
Do đó, hàm số nghịch biến trên từng khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\). Trong các phương án đưa ra, khoảng \(\left( {1;2} \right)\) nằm hoàn toàn trong tập nghịch biến của hàm số.
Chọn A.
Câu 3
A. \(2\).
B. \(4\).
C. \(3\).
D. \(1\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
b. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {1;5} \right)\).
c. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng 5.
d. \(a + b + c + d = 5\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\left( {0;4} \right)\).
B. \(\left( { - 1;3} \right)\).
C. \(\left( {0; + \infty } \right)\).
D. \(\left( { - \infty ;4} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(2\).
B. \(1\).
C. \(3\).
D. \(4\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
a. Công ty bán được 775 sản phẩm trong 6 tháng.
b. Đạo hàm \(S'\left( x \right) = \frac{{1800}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
c. Nếu công ty duy trì thời gian bán hàng đủ lâu thì số lượng sản phẩm bán được sẽ vượt mức 1000.
d. Doanh số của công ty tăng trưởng chậm dần theo thời gian.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập