Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng \(AB = 5{\rm{\;km}}\). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng bằng \(7{\rm{\;km}}\). Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc \(4{\rm{\;km/h}}\) rồi đi bộ thẳng đến C với vận tốc \(6{\rm{\;km/h}}\). Xác định khoảng cách từ điểm M đến điểm B để người đó đến kho nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Kết quả: _____

Dựa vào bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\):

Đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm \(x = 0\) và \(x = 1\). Do đó hàm số có \(2\) điểm cực trị.

Chọn A.

Bể chứa dầu gồm hai nửa hình cầu bán kính \(r\) (ghép lại thành một hình cầu bán kính \(r\)) và một hình trụ có bán kính đáy \(r\), chiều cao \(h\).

Thể tích của toàn bộ bể chứa: \(V = {V_{{\rm{cau}}}} + {V_{{\rm{tru}}}} = \frac{4}{3}\pi {r^3} + \pi {r^2}h\).

Theo đề bài, thể tích bể bằng \(9\pi {\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\): \(\frac{4}{3}\pi {r^3} + \pi {r^2}h = 9\pi \Leftrightarrow \frac{4}{3}{r^3} + {r^2}h = 9\).

Từ đây, ta biểu diễn chiều cao \(h\) theo bán kính \(r\): \({r^2}h = 9 - \frac{4}{3}{r^3} \Leftrightarrow h = \frac{9}{{{r^2}}} - \frac{4}{3}r\).

Theo yêu cầu vận chuyển, chiều cao phải thỏa mãn \(h \ge 2\) nên \(\frac{9}{{{r^2}}} - \frac{4}{3}r \ge 2\).

Vì \(r > 0\), nhân cả hai vế với \(3{r^2}\) ta được \(27 - 4{r^3} \ge 6{r^2} \Leftrightarrow 4{r^3} + 6{r^2} - 27 \le 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2r - 3} \right)\left( {2{r^2} + 6r + 9} \right) \le 0\).

Vì \(2{r^2} + 6r + 9 > 0\) với mọi \(r\), bất phương trình tương đương với: \(2r - 3 \le 0 \Leftrightarrow r \le 1,5\).

Vậy tập xác định của bán kính là \(r \in \left( {0;1,5} \right]\).

Chi phí làm bể tỉ lệ thuận với diện tích bề mặt ngoài của bể: \(S = {S_{{\rm{cau}}}} + {S_{{\rm{xq\;tru}}}} = 4\pi {r^2} + 2\pi rh\).

Thay \(h = \frac{9}{{{r^2}}} - \frac{4}{3}r\) vào công thức diện tích:

\(S\left( r \right) = 4\pi {r^2} + 2\pi r\left( {\frac{9}{{{r^2}}} - \frac{4}{3}r} \right)\)\( = 4\pi {r^2} + \frac{{18\pi }}{r} - \frac{8}{3}\pi {r^2} = \frac{4}{3}\pi {r^2} + \frac{{18\pi }}{r}\).

Xét hàm số \(S\left( r \right)\) trên nửa khoảng \(\left( {0;1,5} \right]\), ta tính đạo hàm: \(S'\left( r \right) = \frac{8}{3}\pi r - \frac{{18\pi }}{{{r^2}}}\).

Tìm nghiệm của đạo hàm \(S'\left( r \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{8}{3}\pi r = \frac{{18\pi }}{{{r^2}}} \Leftrightarrow {r^3} = \frac{{54}}{8} = 6,75 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{6,75}} \approx 1,89\).

Vì điểm cực trị \(r \approx 1,89\) nằm ngoài khoảng xét \(\left( {0;1,5} \right]\) và với mọi \(r \in \left( {0;1,5} \right]\) thì \(S'\left( r \right) < 0\). Do đó, hàm số \(S\left( r \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1,5} \right]\).

Vì hàm số luôn giảm trên \(\left( {0;1,5} \right]\), giá trị nhỏ nhất của \(S\left( r \right)\) sẽ đạt được tại điểm \(r = 1,5\).

Bán kính \(r\) để chi phí làm bể là nhỏ nhất là 1,5 (m).

Kết quả: 1,5.