Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng \(AB = 5{\rm{\;km}}\). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng bằng \(7{\rm{\;km}}\). Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc \(4{\rm{\;km/h}}\) rồi đi bộ thẳng đến C với vận tốc \(6{\rm{\;km/h}}\). Xác định khoảng cách từ điểm M đến điểm B để người đó đến kho nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Kết quả: _____

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) như sau.

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

Một bể chứa dầu được thiết kế với hai đầu là hai nửa hình cầu bán kính \(r{\rm{\;(m)}}\) và phần thân ở giữa là một hình trụ bán kính đáy \(r{\rm{\;(m)}}\), chiều cao \(h{\rm{\;(m)}}\) (tham khảo hình vẽ dưới đây). Toàn bộ bể chứa được yêu cầu có thể tích là \(9\pi {\rm{\;}}\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\) và để đảm bảo tính ổn định trong quá trình vận chuyển, chiều cao h của phần hình trụ phải thỏa mãn điều kiện \(h \ge 2{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)\). Chi phí để làm bể phụ thuộc vào diện tích toàn bộ bề mặt ngoài của bể (bao gồm mặt xung quanh của phần hình trụ và bề mặt của hai nửa hình cầu). Hãy xác định bán kính \(r\,\left( {\rm{m}} \right)\) để chi phí làm bể là nhỏ nhất (viết kết quả ở dạng số thập phân).

Kết quả: ____

Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong \(x\) (tháng) được tính theo công thức \(S\left( x \right) = 200\left( {5 - \frac{9}{{x + 2}}} \right)\) trong đó \(x \ge 1\). Khi đó \(S'\left( x \right)\) biểu thị tốc độ thay đổi của số lượng sản phẩm bán được theo thời gian.

Cho hàm số đa thức bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 1 và cung là một phần tư đường tròn tâm \(A\), bán kính \(AB\) (tham khảo hình vẽ). Gọi \(M\) là một điểm di động trên cung . Tiếp tuyến với cung tại \(M\) cắt \(CD\) tại \(P\) và \(BC\) tại \(Q\). Tính độ dài đoạn thẳng \(DP\) để \(PQ\) có độ dài nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Kết quả: _____ .

Một doanh nghiệp sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Trong một ngày, nếu doanh nghiệp sản xuất và tiêu thụ \[x\] sản phẩm \[\left( {x \in \mathbb{N},1 \le x \le 186} \right)\] thì chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là

\(\overline C \left( x \right) = {x^2} - 6x + 140 + \frac{{750}}{x}\) (USD/sản phẩm)

và toàn bộ chúng được bán với giá \(\left( {1400 - 7,5x} \right)\) USD một sản phẩm. Giả sử toàn bộ \[x\] sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ hết.