Một chuyển động được xác định bởi phương trình \(S\left( t \right) = - \frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2} - 2t + 15\) với \(t \ge 0\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(S\) tính bằng mét. Kể từ giây thứ bao nhiêu trở đi thì vận tốc của vật giảm?

Đáp số: ____

a) Sai. Doanh thu từ việc bán \(x\) tấn sản phẩm là:

\(R\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) = 45x - 0,001{x^3}\) (triệu đồng).

Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm chính là doanh thu \(R\left( {10} \right)\):

\(R\left( {10} \right) = 45 \cdot 10 - 0,001 \cdot {10^3} = 450 - 1 = 449\) (triệu đồng).

Do đó khẳng định 600 triệu đồng là sai.

b) Đúng. Chi phí sản xuất 10 tấn sản phẩm là: \(C\left( {10} \right) = 100 + 30 \cdot 10 = 400\) (triệu đồng).

d) Đúng. Hàm lợi nhuận thu được:

\(H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \left( {45x - 0,001{x^3}} \right) - \left( {100 + 30x} \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) (triệu đồng).

c) Đúng. Tìm giá trị lớn nhất của \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) với \(x \in \left[ {0;100} \right]\).

Ta có \(H'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15\);

\(H'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5000 \Leftrightarrow x = \sqrt {5000} = 50\sqrt 2 \approx 70,71\) (tấn).

Vì \(H'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x = 50\sqrt 2 \) nên hàm số đạt cực đại (và cũng là giá trị lớn nhất trên đoạn) tại \(x \approx 70,7\) tấn.

a) Đúng. Từ điểm cực đại \(x = 2\), đồ thị đi xuống về phía bên phải (\(x > 2\)), nghĩa là hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Vì \(3 > 2\) nên \(f\left( 3 \right) < f\left( 2 \right)\).

b) Đúng. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu tại \(x = 0\) và một điểm cực đại tại \(x = 2\). Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

c) Đúng. Trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu \(\left( {0; - 1} \right)\) đến điểm cực đại \(\left( {2;3} \right)\). Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn này chính là \(f\left( 2 \right) = 3\).

d) Sai. Trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\), đồ thị hàm số đi xuống (hàm số nghịch biến). Chỉ trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) hàm số mới đồng biến. Do đó khẳng định đồng biến trên cả khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\) là sai.