Một chuyển động được xác định bởi phương trình \(S\left( t \right) = - \frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2} - 2t + 15\) với \(t \ge 0\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(S\) tính bằng mét. Kể từ giây thứ bao nhiêu trở đi thì vận tốc của vật giảm?

Đáp số: ____

a) Sai. Thực hiện phép chia đa thức: \(\frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{ - x\left( {x + 1} \right) + 2x + 1}}{{x + 1}} = - x + \frac{{2\left( {x + 1} \right) - 1}}{{x + 1}} = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\).

Do đó, tiệm cận xiên là đường thẳng \(\left( d \right):y = - x + 2\).

Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;2} \right)\) vào phương trình tiệm cận xiên: \(2 = - 1 + 2 \Leftrightarrow 2 = 1\) (vô lý). Vậy tiệm cận xiên không đi qua \(A\left( {1;2} \right)\).

b) Sai. Điều kiện xác định là \(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\). Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

c) Đúng. Ta có đường thẳng \(x = - 1\) là tiệm cận đứng.

d) Sai. Tính đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( { - 2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( { - {x^2} + x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} - x + 1 + {x^2} - x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = - 2\).

Xét dấu \(y'\) cho thấy \(y' > 0\) khi \(x \in \left( { - 2;0} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó, khẳng định hàm số đồng biến trên \(\left( { - 3;6} \right)\) là sai.

a) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} \).

Cộng hai vế lại: \(\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'C} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} } \right) + \left( { - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} } \right) = 2\overrightarrow {AC} \).

b) Sai. Ta có \(\overrightarrow {BD} \cdot \overrightarrow {A'B} = \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} } \right) = - {\overrightarrow {AB} ^2} = - {a^2}\).

\({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = \frac{{ - {a^2}}}{{a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 2 }} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = 120^\circ \).

c) Sai. Vì \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {DD'} \) nên \(\overrightarrow {AD'} \cdot \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AD'} \cdot \overrightarrow {DD'} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} } \right) \cdot \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {DD'} + {\overrightarrow {DD'} ^2} = 0 + {a^2} = {a^2}\).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AB} \).

\(\overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {C'D} = \left( {\overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} } \right) - \left( { - \overrightarrow {C'C} - \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AB} \).

Tổng lại: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = 2\overrightarrow {AB} + \left( { - 2\overrightarrow {AB} } \right) = \vec 0\).