Trong một cửa hàng, nhà quản lý dự định treo một đồ trang trí trên cao. Vật trang trí được đặt trên giá đỡ nằm dưới thanh treo \(1{\rm{\;m}}\). Biết khoảng cách giữa hai thanh treo là \(3{\rm{\;m}}\). Biết tổng độ dài nhỏ nhất của các đoạn dây xích là (trong đó \(a,b,c\) là các số tự nhiên). Tính \(a + b + c\).

Đáp số: __

a) Sai. Doanh thu từ việc bán \(x\) tấn sản phẩm là:

\(R\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) = 45x - 0,001{x^3}\) (triệu đồng).

Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm chính là doanh thu \(R\left( {10} \right)\):

\(R\left( {10} \right) = 45 \cdot 10 - 0,001 \cdot {10^3} = 450 - 1 = 449\) (triệu đồng).

Do đó khẳng định 600 triệu đồng là sai.

b) Đúng. Chi phí sản xuất 10 tấn sản phẩm là: \(C\left( {10} \right) = 100 + 30 \cdot 10 = 400\) (triệu đồng).

d) Đúng. Hàm lợi nhuận thu được:

\(H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \left( {45x - 0,001{x^3}} \right) - \left( {100 + 30x} \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) (triệu đồng).

c) Đúng. Tìm giá trị lớn nhất của \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) với \(x \in \left[ {0;100} \right]\).

Ta có \(H'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15\);

\(H'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5000 \Leftrightarrow x = \sqrt {5000} = 50\sqrt 2 \approx 70,71\) (tấn).

Vì \(H'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x = 50\sqrt 2 \) nên hàm số đạt cực đại (và cũng là giá trị lớn nhất trên đoạn) tại \(x \approx 70,7\) tấn.

a) Đúng. Từ điểm cực đại \(x = 2\), đồ thị đi xuống về phía bên phải (\(x > 2\)), nghĩa là hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Vì \(3 > 2\) nên \(f\left( 3 \right) < f\left( 2 \right)\).

b) Đúng. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu tại \(x = 0\) và một điểm cực đại tại \(x = 2\). Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

c) Đúng. Trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu \(\left( {0; - 1} \right)\) đến điểm cực đại \(\left( {2;3} \right)\). Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn này chính là \(f\left( 2 \right) = 3\).

d) Sai. Trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\), đồ thị hàm số đi xuống (hàm số nghịch biến). Chỉ trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) hàm số mới đồng biến. Do đó khẳng định đồng biến trên cả khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\) là sai.