Trong một cửa hàng, nhà quản lý dự định treo một đồ trang trí trên cao. Vật trang trí được đặt trên giá đỡ nằm dưới thanh treo \(1{\rm{\;m}}\). Biết khoảng cách giữa hai thanh treo là \(3{\rm{\;m}}\). Biết tổng độ dài nhỏ nhất của các đoạn dây xích là (trong đó \(a,b,c\) là các số tự nhiên). Tính \(a + b + c\).

Đáp số: __

a) Sai. Doanh thu từ việc bán \(x\) tấn sản phẩm là:

\(R\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) = 45x - 0,001{x^3}\) (triệu đồng).

Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm chính là doanh thu \(R\left( {10} \right)\):

\(R\left( {10} \right) = 45 \cdot 10 - 0,001 \cdot {10^3} = 450 - 1 = 449\) (triệu đồng).

Do đó khẳng định 600 triệu đồng là sai.

b) Đúng. Chi phí sản xuất 10 tấn sản phẩm là: \(C\left( {10} \right) = 100 + 30 \cdot 10 = 400\) (triệu đồng).

d) Đúng. Hàm lợi nhuận thu được:

\(H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \left( {45x - 0,001{x^3}} \right) - \left( {100 + 30x} \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) (triệu đồng).

c) Đúng. Tìm giá trị lớn nhất của \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) với \(x \in \left[ {0;100} \right]\).

Ta có \(H'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15\);

\(H'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5000 \Leftrightarrow x = \sqrt {5000} = 50\sqrt 2 \approx 70,71\) (tấn).

Vì \(H'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x = 50\sqrt 2 \) nên hàm số đạt cực đại (và cũng là giá trị lớn nhất trên đoạn) tại \(x \approx 70,7\) tấn.

a) Sai. Thực hiện phép chia đa thức: \(\frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{ - x\left( {x + 1} \right) + 2x + 1}}{{x + 1}} = - x + \frac{{2\left( {x + 1} \right) - 1}}{{x + 1}} = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\).

Do đó, tiệm cận xiên là đường thẳng \(\left( d \right):y = - x + 2\).

Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;2} \right)\) vào phương trình tiệm cận xiên: \(2 = - 1 + 2 \Leftrightarrow 2 = 1\) (vô lý). Vậy tiệm cận xiên không đi qua \(A\left( {1;2} \right)\).

b) Sai. Điều kiện xác định là \(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\). Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

c) Đúng. Ta có đường thẳng \(x = - 1\) là tiệm cận đứng.

d) Sai. Tính đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( { - 2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( { - {x^2} + x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} - x + 1 + {x^2} - x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = - 2\).

Xét dấu \(y'\) cho thấy \(y' > 0\) khi \(x \in \left( { - 2;0} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó, khẳng định hàm số đồng biến trên \(\left( { - 3;6} \right)\) là sai.