Từ một miếng bìa có độ dài hai cạnh là \(0,9{\rm{\;m}}\) và \(1,5{\rm{\;m}}\) như hình bên. Bạn Minh cắt đi phần tô màu xám đen và gấp lại để được một hình hộp chữ nhật. Tìm \(x\) để hình hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.

Đáp số: ______

Quan sát hình vẽ trải phẳng của hình hộp chữ nhật:

Chiều rộng của tấm bìa ban đầu là \(0,9{\rm{\;m}}\). Theo trục dọc, tấm bìa được chia thành các phần gồm: 3 đoạn có độ dài bằng nhau là chiều rộng/chiều cao và 2 đoạn cắt góc \(x\). Nhìn vào sơ đồ: chiều dọc \(0,9{\rm{\;m}}\) gồm có 2 ô vuông cạnh \(x\) ở hai góc kẹp giữa một cạnh của hình hộp. Đoạn ở giữa là các mặt hình hộp.

Cụ thể, chiều rộng miếng bìa được chia thành: \(x\) + (chiều rộng đáy) + \(x = 0,9 \Rightarrow \) Chiều rộng đáy hộp là \(0,9 - 2x\).

Chiều dài của tấm bìa ban đầu là \(1,5{\rm{\;m}}\). Theo trục ngang, miếng bìa được xếp thành 4 mặt bên tuần hoàn của hình hộp chữ nhật có cùng chiều cao là \(x\). Cấu trúc gồm 4 đoạn gấp lại thành chu vi đáy: 2 lần chiều dài đáy và 2 lần chiều rộng đáy.

Do đó: 2 × (chiều dài đáy + chiều rộng đáy) = 1,5.

Biết chiều rộng đáy là \(0,9 - 2x\), ta tìm được chiều dài đáy bằng \(0,75 - \left( {0,9 - 2x} \right) = 2x - 0,15\).

Chiều cao của hình hộp chữ nhật chính là \(x\).

Điều kiện của \(x\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{0,9 - 2x > 0}\\{2x - 0,15 > 0}\end{array} \Rightarrow 0,075 < x < 0,45} \right.\).

Thể tích của hình hộp chữ nhật tạo thành là:

\(V\left( x \right) = \left( {2x - 0,15} \right)\left( {0,9 - 2x} \right)x\)\( = \left( { - 4{x^2} + 2,1x - 0,135} \right)x = - 4{x^3} + 2,1{x^2} - 0,135x\).

Tìm \(x\) để \(V\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng cách lấy đạo hàm:

\(V'\left( x \right) = - 12{x^2} + 4,2x - 0,135\).

Cho \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 12{x^2} + 4,2x - 0,135 = 0\).

Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm: \({x_1} = 0,225\) và \({x_2} = 0,12\).

So sánh giá trị hoặc lập bảng biến thiên:

Với \(x = 0,12\): \(V\left( {0,12} \right) = \left( {2 \cdot 0,12 - 0,15} \right)\left( {0,9 - 2 \cdot 0,12} \right) \cdot 0,12 = 0,09 \cdot 0,66 \cdot 0,12 = 0,007128{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).

Với \(x = 0,225\): \(V\left( {0,225} \right) = \left( {2 \cdot 0,225 - 0,15} \right)\left( {0,9 - 2 \cdot 0,225} \right) \cdot 0,225 = 0,3 \cdot 0,45 \cdot 0,225 = 0,030375{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).

Vì \(V\left( {0,225} \right) > V\left( {0,12} \right)\), hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 0,225{\rm{\;m}}\).

Đáp số: 0,225.