Từ một miếng bìa có độ dài hai cạnh là \(0,9{\rm{\;m}}\) và \(1,5{\rm{\;m}}\) như hình bên. Bạn Minh cắt đi phần tô màu xám đen và gấp lại để được một hình hộp chữ nhật. Tìm \(x\) để hình hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.

Đáp số: ______

a) Sai. Doanh thu từ việc bán \(x\) tấn sản phẩm là:

\(R\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) = 45x - 0,001{x^3}\) (triệu đồng).

Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm chính là doanh thu \(R\left( {10} \right)\):

\(R\left( {10} \right) = 45 \cdot 10 - 0,001 \cdot {10^3} = 450 - 1 = 449\) (triệu đồng).

Do đó khẳng định 600 triệu đồng là sai.

b) Đúng. Chi phí sản xuất 10 tấn sản phẩm là: \(C\left( {10} \right) = 100 + 30 \cdot 10 = 400\) (triệu đồng).

d) Đúng. Hàm lợi nhuận thu được:

\(H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \left( {45x - 0,001{x^3}} \right) - \left( {100 + 30x} \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) (triệu đồng).

c) Đúng. Tìm giá trị lớn nhất của \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) với \(x \in \left[ {0;100} \right]\).

Ta có \(H'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15\);

\(H'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5000 \Leftrightarrow x = \sqrt {5000} = 50\sqrt 2 \approx 70,71\) (tấn).

Vì \(H'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x = 50\sqrt 2 \) nên hàm số đạt cực đại (và cũng là giá trị lớn nhất trên đoạn) tại \(x \approx 70,7\) tấn.

Ta viết lại hàm số dưới dạng: \(y = \frac{1}{m}x + \frac{b}{m} + \frac{c}{{mx}}\).

Khi \(x \to \infty \), phần \(\frac{c}{{mx}} \to 0\), nên tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = \frac{1}{m}x + \frac{b}{m}\).

Theo giả thiết, hệ số góc của tiệm cận xiên bằng \( - \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{m} = - \frac{1}{2} \Rightarrow m = - 2\).

Hàm số trở thành: \(y = \frac{{{x^2} + bx + c}}{{ - 2x}}\).

Vì đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( {5;1} \right)\), ta có

\(1 = \frac{{{1^2} + b \cdot 1 + c}}{{ - 2 \cdot 1}} \Rightarrow 1 + b + c = - 2 \Rightarrow b + c = - 3\) (1) và \(1 = \frac{{{5^2} + b \cdot 5 + c}}{{ - 2 \cdot 5}} \Rightarrow 25 + 5b + c = - 10 \Rightarrow 5b + c = - 35\) (2).

Trừ phương trình (2) cho phương trình (1): \(4b = - 32 \Rightarrow b = - 8\).

Thay \(b = - 8\) vào (1): \( - 8 + c = - 3 \Rightarrow c = 5\).

Vậy hàm số hoàn chỉnh là: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 8x + 5}}{{ - 2x}}\).

Tính \(f\left( { - 1} \right)\): \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - 8 \cdot \left( { - 1} \right) + 5}}{{ - 2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = \frac{{1 + 8 + 5}}{2} = \frac{{14}}{2} = 7\).

Đáp số: 7.