Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh \(A\) kéo dài trong \(60\) ngày. Người ta thấy lượng gạo xuất khẩu theo ngày thứ t được xác định bởi công thức: \(P\left( t \right) = - {t^3} + 27{t^2} + 262144\) (tấn) với \(1 \le t \le 60,t \in {\mathbb{N}^*}.\)

a) Sai. Dựa vào bảng biến thiên, tại \(x = 1\) hàm số không xác định. Vậy tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

b) Đúng. Tại \[x = - 1\], hàm số có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương. Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \[x = - 1\] và giá trị cực tiểu của hàm số là \(f\left( { - 1} \right) = 2\).

c) Đúng. Đạo hàm \(y'\) đổi dấu 2 lần khi đi qua các điểm \(x = - 1\) và \(x = 3\).

d) Sai. Trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\), đạo hàm mang dấu dương \(\left( - \right)\) nên hàm số nghịch biến. Vì \(4 < 10\) nên ta có \(f\left( 4 \right) > f\left( {10} \right)\).

Gọi khoảng cách từ điểm hạ cánh \(D\) đến điểm \(C\) là \(CD = x{\rm{\;(km)}}\) với \(0 \le x \le 8\).

Khi đó, độ dài quãng đường chèo thuyền trên biển của anh An là đoạn thẳng \(AD\). Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(ACD\): \(AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{3^2} + {x^2}} = \sqrt {9 + {x^2}} {\rm{\;(km)}}\).

Thời gian anh An chèo thuyền từ \(A\) đến \(D\) là: \({t_1} = \frac{{AD}}{6} = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6}\) (giờ).

Quãng đường còn lại anh An chạy bộ dọc theo bờ biển từ \(D\) đến \(B\) có độ dài là:

\(DB = BC - CD = 8 - x{\rm{\;(km)}}\).

Thời gian anh An chạy bộ từ \(D\) đến \(B\) là: \({t_2} = \frac{{DB}}{8} = \frac{{8 - x}}{8}\) (giờ).

Tổng thời gian di chuyển từ \(A\) đến \(B\) của anh An là một hàm số theo biến \(x\):

\(f\left( x \right) = {t_1} + {t_2} = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8},\,\,\,x \in \left[ {0;8} \right]\).

Để tìm thời gian di chuyển ngắn nhất, ta tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\): \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8}\).

Cho đạo hàm bằng \(0\) để tìm điểm cực trị:

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow 8x = 6\sqrt {9 + {x^2}} \Leftrightarrow 4x = 3\sqrt {9 + {x^2}} \).

Bình phương hai vế với điều kiện \(x \ge 0\):

\(16{x^2} = 9\left( {9 + {x^2}} \right) \Leftrightarrow 16{x^2} = 81 + 9{x^2} \Leftrightarrow 7{x^2} = 81 \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }} \approx 3,40{\rm{\;(km)}}\).

Giá trị \(x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\) thuộc đoạn \(\left[ {0;8} \right]\). Ta tính và so sánh giá trị thời gian tại các điểm biên và điểm cực trị:

Tại điểm đầu mút \(x = 0\): \(f\left( 0 \right) = \frac{3}{6} + \frac{8}{8} = 0,5 + 1 = 1,5\) giờ.

Tại điểm đầu mút \(x = 8\): \(f\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {9 + 64} }}{6} + \frac{0}{8} = \frac{{\sqrt {73} }}{6} \approx 1,42\) giờ.

Tại điểm cực trị \(x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\): \(f\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = \frac{{\sqrt {9 + \frac{{81}}{7}} }}{6} + \frac{{8 - \frac{9}{{\sqrt 7 }}}}{8} = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8} \approx 1,33\) giờ.

So sánh ba giá trị trên, thời gian nhỏ nhất để anh An đến được điểm B là \(1,33\) giờ.

Đáp số: \(1,33\).