Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1; - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)\). Xét điểm \(M' \in Ox\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(MM'\) ngắn nhất. Khi đó, \(M'\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(Ox\) và tọa độ của \(M'\) là:

Xác định hệ tọa độ: Giả sử chiều dài \(10{\rm{\;m}}\) nằm dọc theo trục \(Oy\) (bức tường dài \(10{\rm{\;m}}\)), chiều rộng \(7{\rm{\;m}}\) dọc theo trục \(Ox\) (bức tường có kích thước \(7 \times 3,3\) chính là bức tường nằm trong mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\)).

Vị trí tâm trần nhà có tọa độ hình chiếu xuống sàn là trung điểm của chiều dài và chiều rộng: \(x = \frac{7}{2} = 3,5\) và \(y = \frac{{10}}{2} = 5\).

Độ cao của trần nhà là \(3,3{\rm{\;m}}\). Thanh treo quạt dài \(0,8{\rm{\;m}}\) hướng thẳng đứng xuống dưới, nên độ cao (cao độ \(z\)) của động cơ quạt điểm \(I\) là: \(z = 3,3 - 0,8 = 2,5{\rm{\;m}}\).

Vậy tọa độ động cơ quạt là \(I\left( {3,5;5;2,5} \right)\).

Ý c) ĐÚNG. Tọa độ của \(I\) có \(a = 3,5;b = 5;c = 2,5\).

Ý d) ĐÚNG. Khoảng cách từ điểm \(I\) đến sàn nhà (mặt phẳng \(Oxy\)) chính là cao độ \({z_I} = 2,5{\rm{\;m}}\).

Ý a) ĐÚNG. Bức tường trang trí tranh có kích thước \(7 \times 3,3\), tức là bức tường nằm ở mặt phẳng ứng với vị trí giới hạn chiều dài của phòng (mặt phẳng \(y = 0\) hoặc \(y = 10\)). Khoảng cách từ tâm quạt \(I\left( {3,5;5;2,5} \right)\) đến bức tường này chính là khoảng cách đến mặt phẳng song song với \(\left( {Oxz} \right)\), bằng \(5{\rm{\;m}}\).  

Ý b) ĐÚNG. Tính khoảng cách từ thiết bị \(A\left( {0;2;1} \right)\) đến động cơ quạt \(I\left( {3,5;5;2,5} \right)\):

\(AI = \sqrt {{{\left( {3,5 - 0} \right)}^2} + {{\left( {5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2,5 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{3,5}^2} + {3^2} + {{1,5}^2}} = \sqrt {12,25 + 9 + 2,25} = \sqrt {23,5} \approx 4,85{\rm{\;m}}\).

Vì \(4,85{\rm{\;m}} < 5,5{\rm{\;m}}\) nên phát biểu này đúng.

Gia tốc \(a\left( t \right)\) của tàu con thoi là đạo hàm bậc nhất của hàm vận tốc theo thời gian \(t\):

\(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 3 \cdot 0,001302 \cdot {t^2} - 2 \cdot 0,08029 \cdot t = 0,003906{t^2} - 0,16058t\).

Để gia tốc tăng, đạo hàm của gia tốc phải dương (tức là hàm số gia tốc đồng biến):

    \(a'\left( t \right) = 2 \cdot 0,003906 \cdot t - 0,16058 = 0,007812t - 0,16058\)

Xét bất phương trình \(a'\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 0,007812t - 0,16058 > 0 \Leftrightarrow t > \frac{{0,16058}}{{0,007812}} \approx 20,555{\rm{\;s}}\).

Do đó, trong khoảng thời gian từ \(t \approx 20,555{\rm{\;s}}\) đến \(t = 126{\rm{\;s}}\), gia tốc của tàu sẽ liên tục tăng.

Thời gian gia tốc tăng là: \({\rm{\Delta }}t = 126 - 20,555 = 105,445{\rm{\;gi\^a y}}\).

Làm tròn đến hàng đơn vị: \(105\).

Đáp số: 105.