Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng \(m = 3{\rm{\;kg}}\) được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA,SB,SC,SD\) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 90^\circ \). Biết độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích có dạng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\). Lấy \(g = 10{\rm{\;m/}}{{\rm{s}}^2}\), khi đó giá trị của \(a\) bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Gọi độ rộng của phần gấp lên ở mỗi bên là \(x{\rm{\;(cm)}}\) với điều kiện \(0 < 2x < 32 \Leftrightarrow 0 < x < 16\).

Khi đó, phần đáy của máng xối có chiều rộng là: \(32 - 2x{\rm{\;(cm)}}\).

Vì hai bên được gấp lên một góc vuông nên thiết diện mặt ngang của máng xối là một hình chữ nhật có kích thước hai cạnh là \(x\) và \(32 - 2x\).

Diện tích của thiết diện là: \(S\left( x \right) = x\left( {32 - 2x} \right) = 32x - 2{x^2}\).

Đây là một hàm số bậc hai, ta có thể tìm giá trị lớn nhất bằng cách đưa về dạng bình thường hoặc dùng đạo hàm: \(S'\left( x \right) = 32 - 4x = 0 \Leftrightarrow x = 8\) (thỏa mãn).

Diện tích lớn nhất thu được là: \(S\left( 8 \right) = 8 \cdot \left( {32 - 2 \cdot 8} \right) = 8 \cdot 16 = 128{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\).

Đáp án: 128.

a) ĐÚNG. Thay \(x = 24\) vào hàm số: \(f\left( {24} \right) = \frac{{2 \cdot 24 - 3}}{{{{24}^2} + 4}} = \frac{{48 - 3}}{{576 + 4}} = \frac{{45}}{{580}} = \frac{9}{{116}}\).

b) SAI. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x - 3}}{{{x^2} + 4}} = 0\).

Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = 0\) (trục hoành) làm tiệm cận ngang, không phải trục tung.

c) ĐÚNG. Tập xác định của hàm số là \[D = \mathbb{R}\].

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {{x^2} + 4} \right) - \left( {2x - 3} \right) \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 8 - 4{x^2} + 6x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 6x + 8}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}\).

Giải \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 2{x^2} + 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 4}\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên:

Tại \(x = 4\), đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 4\).

d) ĐÚNG. Từ bảng biến thiên, tập giá trị của hàm số là đoạn \(\left[ {a;b} \right] = \left[ { - 1;\frac{1}{4}} \right]\).

Tính giá trị biểu thức \(3a + 4b = 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 4 \cdot \left( {\frac{1}{4}} \right) = - 3 + 1 = - 2\).