Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn \[\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2\]. Tìm giá trị lớn nhất của Q = abc.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

\[\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{{a + 1}} = 1 - \frac{1}{{b + 1}} + 1 - \frac{1}{{c + 1}} = \frac{b}{{b + 1}} + \frac{c}{{c + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{bc}}{{\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}} \]

Tương tự ta có:

\[ \Rightarrow \frac{1}{{b + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{ac}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}} ;\frac{1}{{c + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{ab}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}}} \]

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên

\[ \Rightarrow \frac{1}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}} \ge 8\sqrt {\frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}{{\left( {b + 1} \right)}^2}{{\left( {c + 1} \right)}^2}}}} = 8 \cdot \frac{{abc}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\]

\[ \Rightarrow 1 \le 8abc\]

\[ \Rightarrow abc \le \frac{1}{8}\]

Đẳng thức xảy ra khi \[a = b = c = \frac{1}{2}\]

Vậy giá trị lớn nhất của Q là \[\frac{1}{8}\] khi \[a = b = c = \frac{1}{2}\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính nhanh

\[1 + \frac{1}{{1 + 2}} + \frac{1}{{1 + 2 + 3}} + \frac{1}{{1 + 2 + 3 + 4}} + ... + \frac{1}{{1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50}}.\]

Xem đáp án

Lời giải

\[1 + \frac{1}{{1 + 2}} + \frac{1}{{1 + 2 + 3}} + \frac{1}{{1 + 2 + 3 + 4}} + ... + \frac{1}{{1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50}}\]

\[ = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + ... + \frac{1}{{1\,\,275}}\]

\[ = \frac{2}{2} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + \frac{2}{{20}} + ... + \frac{2}{{2\,\,550}}\]

\[ = \frac{2}{{1 \cdot 2}} + \frac{2}{{2 \cdot 3}} + \frac{2}{{3 \cdot 4}} + \frac{2}{{4 \cdot 5}} + ... + \frac{2}{{50 \cdot 51}}\]

\[ = 2 \cdot \left( {\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 5}} + ... + \frac{1}{{50 \cdot 51}}} \right)\]

\[ = 2 \cdot \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{50}} - \frac{1}{{51}}} \right)\]

\[ = 2 \cdot \left( {1 - \frac{1}{{51}}} \right)\]

\[ = 2 \cdot \frac{{50}}{{51}} = \frac{{100}}{{51}}.\]

Câu 2

Tính nhanh tổng sau:

1,2 + 2,2 + 3,3 + 4,4 + 5,5 + 6,6 + 7,7 + 8,8 + 9,9.

Xem đáp án

Lời giải

1,2 + 2,2 + 3,3 + 4,4 + 5,5 + 6,6 + 7,7 + 8,8 + 9,9

= (1,1 + 9,9) + (2,2 + 8,8) + (3,3 + 7,7) + (4,4 + 6,6) + 5,5

= 11 + 11 + 11 + 11 + 5,5

= 49,5.

Câu 3