Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn \[\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2\]. Tìm giá trị lớn nhất của Q = abc.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

\[\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{{a + 1}} = 1 - \frac{1}{{b + 1}} + 1 - \frac{1}{{c + 1}} = \frac{b}{{b + 1}} + \frac{c}{{c + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{bc}}{{\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}} \]

Tương tự ta có:

\[ \Rightarrow \frac{1}{{b + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{ac}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}} ;\frac{1}{{c + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{ab}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}}} \]

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên

\[ \Rightarrow \frac{1}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}} \ge 8\sqrt {\frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}{{\left( {b + 1} \right)}^2}{{\left( {c + 1} \right)}^2}}}} = 8 \cdot \frac{{abc}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\]

\[ \Rightarrow 1 \le 8abc\]

\[ \Rightarrow abc \le \frac{1}{8}\]

Đẳng thức xảy ra khi \[a = b = c = \frac{1}{2}\]

Vậy giá trị lớn nhất của Q là \[\frac{1}{8}\] khi \[a = b = c = \frac{1}{2}\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

0,5 m = ... cm

Xem đáp án

Lời giải

0,5 m = 50 cm.

Câu 2

Tính:

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\]

Xem đáp án

Lời giải

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1.\]

Câu 3