Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vectơ vận tốc của thiết bị khi biển đứng yên là \(\vec v = \left( {11;7; - 4} \right)\) (đơn vị: \({\rm{km/h}}\)). Cho biết vectơ vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển đó là \(\vec w = \left( {4;2;0} \right)\) (đơn vị: \({\rm{km/h}}\)). Tính tốc độ của thiết bị trong điều kiện có dòng hải lưu (đơn vị \({\rm{km/h}}\) làm tròn đến hàng phần chục).

a) Sai: Quan sát đồ thị, hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 0\) (giá trị cực đại \(y = 2\)) và đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2\) (giá trị cực tiểu \(y = - 2\)).

b) Đúng: Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng nằm ngang \(y = m\). Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng \(y = m\) phải cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt, tức là: \( - 2 < m < 2\).

Vì \(m \in \mathbb{R}\) và \(m\) là số nguyên nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\). Có tất cả 3 giá trị nguyên thỏa mãn.

c) Sai: Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), đồ thị hàm số đi xuống từ \(x = 0\) đến \(x = 2\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\). Do đó hàm số không thể đồng biến trên toàn bộ khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\).

d) Sai: Đặt \(t = 2\sin x + 1\). Vì \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\sin x \le 2 \Rightarrow - 1 \le t \le 3\).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).

Dựa vào đồ thị hàm số:

Khi \(t \in \left[ { - 1;3} \right]\), điểm cực đại là \(\left( {0;2} \right)\) và tại biên \(t = 3\) đồ thị đi lên đạt giá trị \(f\left( 3 \right) = 2\) (theo đường nét đứt đối xứng trên đồ thị). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(M = 2\).

Điểm cực tiểu trên đoạn là \(\left( {2; - 2} \right)\), tại biên \(t = - 1\) ta thấy giá trị \(f\left( { - 1} \right) = - 2\). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(m = - 2\).

Do đó \(M + m = 2 + \left( { - 2} \right) = 0 \ne 5\).

a) Đúng: Quan sát đồ thị thấy đường tiệm cận đứng là \(x = 1\).

b) Đúng: Đường tiệm cận xiên cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(3\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \( - 3\). Phương trình đường thẳng này có dạng \(y = x + 3\).

c) Sai: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên. Với tiệm cận đứng \(x = 1\) và tiệm cận xiên \(y = x + 3\), giao điểm có tọa độ là \(\left( {1;4} \right)\).

d) Đúng: Từ các yếu tố trên ta xác định các hệ số:

Tiệm cận đứng \(x = 1 \Rightarrow n = - 1\).

Tiệm cận xiên \(y = x + 3\). Giao điểm hai tiệm cận là \(\left( {1;4} \right)\).

Hàm số viết lại: \(y = \frac{{a{x^2} + 2x + c}}{{x - 1}} = ax + \left( {a + 2} \right) + \frac{{c + a + 2}}{{x - 1}}\).

Đồng nhất với tiệm cận xiên \(y = x + 3 \Rightarrow a = 1\) và \(a + 2 = 3\) (thỏa mãn).

Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;2} \right)\) nên \(f\left( 0 \right) = \frac{c}{{ - 1}} = 2 \Rightarrow c = - 2\).

Khi đó, giá trị của biểu thức \(P = a + c + n = 1 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) = - 2\).