Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên:

Cự li (m)	\(\left[ {19;19,5} \right)\)	\(\left[ {19,5;20} \right)\)	\(\left[ {20;20,5} \right)\)	\(\left[ {20,5;21} \right)\)	\(\left[ {21;21,5} \right)\)
Tần số	13	45	24	12	6

Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

Do hình lập phương có cạnh bằng 1, gắn vào hệ trục Oxyz với \(A\left( {0;0;0} \right)\), ta tìm được tọa độ các đỉnh:

\(B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),A'\left( {0;0;1} \right),C\left( {1;1;0} \right),B'\left( {1;0;1} \right),D'\left( {0;1;1} \right),C'\left( {1;1;1} \right)\).

a) ĐÚNG.

b) SAI. Ta có \(\overrightarrow {AC'} = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC'} = \vec i + \vec j + \vec k\).

c) SAI. Vì M là trung điểm \(B'C'\) nên \(M = \left( {\frac{{1 + 1}}{2};\frac{{0 + 1}}{2};\frac{{1 + 1}}{2}} \right) = \left( {1;\frac{1}{2};1} \right)\).

d) SAI. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác \(CB'D'\):

\({x_G} = \frac{{1 + 1 + 0}}{3} = \frac{2}{3},\quad {y_G} = \frac{{1 + 0 + 1}}{3} = \frac{2}{3},\quad {z_G} = \frac{{0 + 1 + 1}}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow G\left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

Ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\) và \(C\left( {1;1;0} \right)\).

Tính các vectơ: \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;0} \right)\), \(\overrightarrow {AG} = \left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

Tích có hướng: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AG} } \right] = \left( {1 \cdot \frac{2}{3} - 0;0 - 1 \cdot \frac{2}{3};1 \cdot \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{2}{3}} \right) = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3};0} \right)\).

Diện tích tam giác GAC: \(S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AG} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{3} \ne \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

a) SAI. Đồ thị \(f'\left( x \right)\) cắt và đổi dấu qua trục hoành tại điểm \(x = 1\). Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 1 điểm cực trị.

b) SAI. Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\), đồ thị \(f'\left( x \right)\) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành, nghĩa là \(f'\left( x \right) < 0\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này.

c) SAI. Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), đồ thị \(f'\left( x \right) > 0\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến.

Do đó với \(2 < 4 \Rightarrow f\left( 2 \right) < f\left( 4 \right) \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 4 \right) < 0\).

d) ĐÚNG. Đạo hàm của \(g\left( x \right)\) là \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1\).

Từ đồ thị, ta thấy \(f'\left( x \right)\) là hàm số bậc ba và có các đặc điểm:

• Tiếp xúc với trục hoành tại điểm cực đại \(x = - 2 \Rightarrow f'\left( x \right)\) chứa nhân tử \({\left( {x + 2} \right)^2}\).
• Cắt trục hoành tại điểm \(x = 1 \Rightarrow f'\left( x \right)\) chứa nhân tử \(\left( {x - 1} \right)\).

Do đó, công thức của đạo hàm có dạng: \(f'\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\).

Thay tọa độ giao điểm với trục tung \(\left( {0; - 4} \right)\) vào hàm số: \( - 4 = a{\left( {0 + 2} \right)^2}\left( {0 - 1} \right) \Leftrightarrow - 4 = - 4a \Leftrightarrow a = 1\).

Vậy hàm số đạo hàm là: \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\).

Thay \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\) vào:

\(g'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1} \right]\)\( = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\).

Xét dấu \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 3,x = - 1,x = 1\). Trong khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\), ta thấy \(g'\left( x \right) > 0\).

Vì khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right) = \left( { - 2,5; - 1,5} \right) \subset \left( { - 3; - 1} \right)\) nên \(g'\left( x \right) > 0\) trên khoảng này. Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).