Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.

Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm \(M\left( {90;0;30} \right),N\left( {90;120;30} \right),P\left( {0;120;30} \right),Q\left( {0;0;30} \right)\). Giả sử \({K_0}\) là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và \({K_0}M = {K_0}N = {K_0}P = {K_0}Q\). Để theo dõi quả bóng đến vị trí A, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm \({K_1}\) có cao độ bằng 19.

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {{K_0}{K_1}} = \left( {a;b;c} \right)\) với \(a,b,c\) là các số thực. Tính \(P = a + b - c\)?

Do hình lập phương có cạnh bằng 1, gắn vào hệ trục Oxyz với \(A\left( {0;0;0} \right)\), ta tìm được tọa độ các đỉnh:

\(B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),A'\left( {0;0;1} \right),C\left( {1;1;0} \right),B'\left( {1;0;1} \right),D'\left( {0;1;1} \right),C'\left( {1;1;1} \right)\).

a) ĐÚNG.

b) SAI. Ta có \(\overrightarrow {AC'} = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC'} = \vec i + \vec j + \vec k\).

c) SAI. Vì M là trung điểm \(B'C'\) nên \(M = \left( {\frac{{1 + 1}}{2};\frac{{0 + 1}}{2};\frac{{1 + 1}}{2}} \right) = \left( {1;\frac{1}{2};1} \right)\).

d) SAI. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác \(CB'D'\):

\({x_G} = \frac{{1 + 1 + 0}}{3} = \frac{2}{3},\quad {y_G} = \frac{{1 + 0 + 1}}{3} = \frac{2}{3},\quad {z_G} = \frac{{0 + 1 + 1}}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow G\left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

Ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\) và \(C\left( {1;1;0} \right)\).

Tính các vectơ: \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;0} \right)\), \(\overrightarrow {AG} = \left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

Tích có hướng: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AG} } \right] = \left( {1 \cdot \frac{2}{3} - 0;0 - 1 \cdot \frac{2}{3};1 \cdot \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{2}{3}} \right) = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3};0} \right)\).

Diện tích tam giác GAC: \(S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AG} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{3} \ne \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

a) SAI. Đồ thị \(f'\left( x \right)\) cắt và đổi dấu qua trục hoành tại điểm \(x = 1\). Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 1 điểm cực trị.

b) SAI. Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\), đồ thị \(f'\left( x \right)\) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành, nghĩa là \(f'\left( x \right) < 0\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này.

c) SAI. Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), đồ thị \(f'\left( x \right) > 0\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến.

Do đó với \(2 < 4 \Rightarrow f\left( 2 \right) < f\left( 4 \right) \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 4 \right) < 0\).

d) ĐÚNG. Đạo hàm của \(g\left( x \right)\) là \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1\).

Từ đồ thị, ta thấy \(f'\left( x \right)\) là hàm số bậc ba và có các đặc điểm:

• Tiếp xúc với trục hoành tại điểm cực đại \(x = - 2 \Rightarrow f'\left( x \right)\) chứa nhân tử \({\left( {x + 2} \right)^2}\).
• Cắt trục hoành tại điểm \(x = 1 \Rightarrow f'\left( x \right)\) chứa nhân tử \(\left( {x - 1} \right)\).

Do đó, công thức của đạo hàm có dạng: \(f'\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\).

Thay tọa độ giao điểm với trục tung \(\left( {0; - 4} \right)\) vào hàm số: \( - 4 = a{\left( {0 + 2} \right)^2}\left( {0 - 1} \right) \Leftrightarrow - 4 = - 4a \Leftrightarrow a = 1\).

Vậy hàm số đạo hàm là: \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\).

Thay \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\) vào:

\(g'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1} \right]\)\( = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\).

Xét dấu \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 3,x = - 1,x = 1\). Trong khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\), ta thấy \(g'\left( x \right) > 0\).

Vì khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right) = \left( { - 2,5; - 1,5} \right) \subset \left( { - 3; - 1} \right)\) nên \(g'\left( x \right) > 0\) trên khoảng này. Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).