Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {3; - 2;3} \right)\), \(B\left( {3;5; - 4} \right)\) và \(C\left( {1;1; - 2} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Góc \(AMB\) bằng bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Tìm tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(BC\):
\({x_M} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2,\quad {y_M} = \frac{{5 + 1}}{2} = 3,\quad {z_M} = \frac{{ - 4 - 2}}{2} = - 3 \Rightarrow M\left( {2;3; - 3} \right)\).
Tính các vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \):
\(\overrightarrow {MA} = \left( {3 - 2; - 2 - 3;3 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {1; - 5;6} \right)\)
\(\overrightarrow {MB} = \left( {3 - 2;5 - 3; - 4 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {1;2; - 1} \right)\)
Tính cosin của góc \(\widehat {AMB}\) bằng công thức góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \):
\(\cos \widehat {AMB} = \frac{{\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} }}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MB} } \right|}}\)
Tích vô hướng: \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 1 \cdot 1 + \left( { - 5} \right) \cdot 2 + 6 \cdot \left( { - 1} \right) = 1 - 10 - 6 = - 15\).
Độ dài các đoạn thẳng:
\(\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {6^2}} = \sqrt {1 + 25 + 36} = \sqrt {62} \)
\(\left| {\overrightarrow {MB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {1 + 4 + 1} = \sqrt 6 \)
Suy ra: \(\cos \widehat {AMB} = \frac{{ - 15}}{{\sqrt {62} \cdot \sqrt 6 }} = \frac{{ - 15}}{{\sqrt {372} }}\).
Do đó \(\widehat {AMB} \approx 141^\circ \).
Đáp án: 141.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. −2.
B. −1.
C. 2.
D. 1.
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số bậc ba đã cho, ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ là \(\left( {1;2} \right)\). Do đó, giá trị cực đại (chính là giá trị cực đại của \(y\)) của hàm số bằng \(2\).
Chọn C.
Lời giải
Đáp án:
Đổi vận tốc sang đơn vị km/phút:
- Vận tốc máy bay 1: \({v_1} = \frac{{800}}{{60}} = \frac{{40}}{3}\) km/phút.
- Vận tốc máy bay 2: \({v_2} = \frac{{750}}{{60}} = \frac{{25}}{2}\) km/phút.
Vectơ chỉ phương đơn vị (chỉ hướng chuyển động):
- Máy bay 1: \(\left| {{{\vec u}_1}} \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5 \Rightarrow {\vec e_1} = \left( {\frac{3}{5}; - \frac{4}{5};0} \right)\).
- Máy bay 2: \(\left| {{{\vec u}_2}} \right| = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5 \Rightarrow {\vec e_2} = \left( {\frac{4}{5};\frac{3}{5};0} \right)\).
Vectơ vận tốc theo thời gian \(t\) (phút):
- \({\vec v_1} = {v_1} \cdot {\vec e_1} = \frac{{40}}{3} \cdot \left( {\frac{3}{5}; - \frac{4}{5};0} \right) = \left( {8; - \frac{{32}}{3};0} \right)\).
- \({\vec v_2} = {v_2} \cdot {\vec e_2} = \frac{{25}}{2} \cdot \left( {\frac{4}{5};\frac{3}{5};0} \right) = \left( {10;\frac{{15}}{2};0} \right)\).
Tọa độ của hai máy bay sau \(t\) phút: \({M_1}\left( {100 + 8t;150 - \frac{{32}}{3}t;10} \right)\); \({M_2}\left( { - 100 + 10t;100 + \frac{{15}}{2}t;11} \right)\).
Vectơ nối hai máy bay \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 200 + 2t; - 50 + \frac{{109}}{6}t;1} \right)\).
Bình phương khoảng cách \({d^2} = {\left( { - 200 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 50 + \frac{{109}}{6}t} \right)^2} + 1\).
Để \({d^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì đạo hàm theo \(t\) phải bằng 0:
\({\left[ {{d^2}\left( t \right)} \right]^\prime } = 2\left( {2t - 200} \right) \cdot 2 + 2\left( {\frac{{109}}{6}t - 50} \right) \cdot \frac{{109}}{6} = 0\)\( \Leftrightarrow 8t - 800 + 2 \cdot \frac{{11881}}{{36}}t - \frac{{5450}}{3} = 0 \Rightarrow t \approx 3,9{\rm{\;ph\'u t}}\).
Đáp án: 3,9.
Câu 3
A. \(\left( { - 2;1} \right)\).
B. \(\left( {1; + \infty } \right)\).
C. \(\left( { - 2;3} \right)\).
D. \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(x = 2\).
B. \(x = - 1\).
C. \(y = - 1\).
D. \(y = 2\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(a + b + c + d = - 2\).
B. \(a + b + c + d = 4\).
C. \(a + b + c + d = 2\).
D. \(a + b + c + d = - 4\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập