Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một tàu ngầm di chuyển theo một đường thẳng từ điểm \(A\left( {10;3;0} \right)\) đến điểm \(D\) cách nhau \(2700{\rm{m}}\). Biết đường đi của tàu cùng phương với vectơ \(\vec u\left( {2; - 2;1} \right)\) và thời gian đi từ \(A\) đến điểm \(B\) có hoành độ \({x_B} = 610\) là 6 phút. Nếu vận tốc không đổi thì thời gian tàu ngầm đi từ \(A\) đến \(D\) là bao nhiêu phút?

Đáp án:

Tìm giá trị đại diện \({x_i}\) của mỗi nhóm:

• Nhóm 1: \({x_1} = 152\), tần số \({n_1} = 25\).
• Nhóm 2: \({x_2} = 156\), tần số \({n_2} = 50\).
• Nhóm 3: \({x_3} = 160\), tần số \({n_3} = 200\).
• Nhóm 4: \({x_4} = 164\), tần số \({n_4} = 175\).
• Nhóm 5: \({x_5} = 168\), tần số \({n_5} = 50\).

Tổng số học sinh \(n = 500\).

Tính số trung bình cộng \(\bar x\): \(\bar x = \frac{{25 \cdot 152 + 50 \cdot 156 + 200 \cdot 160 + 175 \cdot 164 + 50 \cdot 168}}{{500}}\)\( = 161,4{\rm{\;cm}}\).

Tính phương sai \({s^2}\):

\({s^2} = \frac{{25{{\left( {152 - 161,4} \right)}^2} + 50{{\left( {156 - 161,4} \right)}^2} + 200{{\left( {160 - 161,4} \right)}^2} + 175{{\left( {164 - 161,4} \right)}^2} + 50{{\left( {168 - 161,4} \right)}^2}}}{{500}}\)\( = 14,84\).

Tính độ lệch chuẩn \(s\): \(s = \sqrt {14,84} \approx 3,85{\rm{\;cm}}\).

Đáp án: 3,85.

Đáp án:

Vì điểm \(C \in \left( {Oxy} \right)\) nên cao độ của \(C\) bằng \(0\), tức là \(p = 0 \Rightarrow C\left( {m;n;0} \right)\).

Ta có các vectơ: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 10;4; - 2} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {m - 2;n - 3;1} \right)\).

Để ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương. Do đó tồn tại số thực \(k\) sao cho \(\overrightarrow {AC} = k \cdot \overrightarrow {AB} \), tức là \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 = - 10k\\n - 3 = 4k\\1 = - 2k\end{array} \right. \Rightarrow k = - \frac{1}{2}\).

Thay \(k = - \frac{1}{2}\) ngược lại hệ phương trình để tìm \(m\) và \(n\):

\(m - 2 = - 10 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 5 \Rightarrow m = 7\)

\(n - 3 = 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 2 \Rightarrow n = 1\)

Vậy tọa độ điểm \(C\) là \(\left( {7;1;0} \right)\), nghĩa là \(m = 7,n = 1,p = 0\).

Giá trị của biểu thức \(m + n + p\) là: \(m + n + p = 7 + 1 + 0 = 8\).

Đáp án: 8.