Mặt cắt đứng của một cây cầu vòm được mô phỏng bởi đường cong \(y = \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}\), \(x\) tính bằng dam (1 dam = 10 m), \(y\) là độ cao so với mặt sàn. Người ta muốn đặt một cống thoát nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật \(ABCD\) sao cho đáy \(AD\) nằm trên mặt sàn (trục hoành), đỉnh \(B,C\) tựa trên vòm cầu (như hình minh họa). Để thể tích nước thoát qua cống đạt lớn nhất, cần thiết kế tiết diện sao cho diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) lớn nhất. Hãy tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) theo đơn vị mét vuông, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Do tính chất đối xứng qua trục tung \(Oy\) của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}\), gọi tọa độ điểm \(D\) nằm trên trục hoành bên dương là \(D\left( {x;0} \right)\) với \(x > 0\). Khi đó tọa độ điểm \(A\) đối xứng với \(D\) qua \(O\) là \(A\left( { - x;0} \right)\).

Chiều dài đáy hình chữ nhật \(AD\) là: \(AD = 2x\).

Điểm \(C\) thuộc đồ thị có hoành độ bằng hoành độ của \(D\) nên tọa độ \(C\left( {x;\frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}} \right)\).

Chiều cao của hình chữ nhật \(CD\) là: \(CD = \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}\).

Diện tích của tiết diện hình chữ nhật \(ABCD\) tính theo đơn vị \({\rm{da}}{{\rm{m}}^2}\) là:

\(S\left( x \right) = AD \cdot CD = 2x \cdot \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}} = x \cdot {e^{ - {x^2}}}\).

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(S\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Tính đạo hàm: \(S'\left( x \right) = 1 \cdot {e^{ - {x^2}}} + x \cdot \left( { - 2x} \right){e^{ - {x^2}}} = \left( {1 - 2{x^2}} \right){e^{ - {x^2}}}\).

Giải phương trình \(S'\left( x \right) = 0\): \(1 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{\;(do\;}}x > 0)\).

Bảng biến thiên của hàm diện tích \(S\left( x \right)\):

\(\begin{array}{*{20}{c}}x&0&{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}&{ + \infty }\\{S'\left( x \right)}&{}& + &0& - &{}\\{S\left( x \right)}&{}&{}&{{\rm{max}}}&{}&{}\\{}&{}& \nearrow &{}& \searrow &{}\end{array}\)

Diện tích lớn nhất đạt được tại \(x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\): \({S_{{\rm{max}}}} = S\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot {e^{ - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot {e^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt {2e} }}{\rm{\;(da}}{{\rm{m}}^2})\).

Đổi đơn vị diện tích sang mét vuông (\({{\rm{m}}^2}\)):

Vì \(1{\rm{\;dam}} = 10{\rm{\;m}} \Rightarrow 1{\rm{\;da}}{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) nên \({S_{{\rm{max}}}} = \frac{1}{{\sqrt {2e} }} \cdot 100 \approx \frac{{100}}{{2,3316}} \approx 42,888{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta thu được diện tích lớn nhất là \(43{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Đáp án: 43.