Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;3;1} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z + 2 = 0\) và đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = t}\end{array}} \right.\).
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(OM\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( { - 1; - 3; - 1} \right).\)
Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Vectơ \(\vec u = \left( {2; - 1;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d.\)
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\). Khi đó khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( \alpha \right)\) bằng \(\frac{2}{{\sqrt {11} }}.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) ĐÚNG. Vectơ \(\overrightarrow {OM} = \left( {1;3;1} \right)\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực cùng phương với \(\overrightarrow {OM} \), chọn \(\vec n = - \overrightarrow {OM} = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)\).
b) SAI. Thay tọa độ \(M\left( {1;3;1} \right)\) vào phương trình \(\left( P \right)\): \(1 - 2 \cdot 3 + 1 + 2 = - 2 \ne 0\). Do đó \(M \notin \left( P \right)\).
c) ĐÚNG. Từ phương trình tham số của \(d\), vectơ chỉ phương thu được từ các hệ số của \(t\) là \(\vec u = \left( {2; - 1;1} \right)\).
d) SAI. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với \(\left( P \right)\) và chứa \(d\) nên vectơ pháp tuyến \({\vec n_\alpha } = \left[ {{{\vec u}_d},{{\vec n}_P}} \right]\).
Ta có \({\vec u_d} = \left( {2; - 1;1} \right)\) và \({\vec n_P} = \left( {1; - 2;1} \right)\).
Suy ra \({\vec n_\alpha } = \left( {\left( { - 1} \right) \cdot 1 - 1 \cdot \left( { - 2} \right);1 \cdot 1 - 2 \cdot 1;2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right) = \left( {1; - 1; - 3} \right)\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;1;0} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_\alpha }\) là: \(1\left( {x + 1} \right) - 1\left( {y - 1} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 3z + 2 = 0\).
Khoảng cách từ \(M\left( {1;3;1} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 3 - 3 \cdot 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{{\sqrt {11} }} = \frac{3}{{\sqrt {11} }}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng \(0\): \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 20 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 5{\rm{\;(s)}}\).
Quãng đường di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là tích phân của vận tốc theo thời gian từ \(0\) đến \(5\): \(S = \int\limits_0^5 {\left( {20 - 4t} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left[ {20t - 2{t^2}} \right]} \right|_0^5 = \left( {20 \cdot 5 - 2 \cdot {5^2}} \right) - 0 = 50{\rm{\;(m)}}\).
Đáp án: 50.
Lời giải
Đáp án:
Mặt đất trùng với mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình \(z = 0\), vectơ pháp tuyến là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\).
Mặt phẳng quỹ đạo \(\left( \alpha \right):ax - y + cz = 0\) vuông góc với mặt đất \(\left( {Oxy} \right)\) nên vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau: \({\vec n_\alpha } \cdot \vec k = 0 \Leftrightarrow a \cdot 0 - 1 \cdot 0 + c \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow c = 0\).
Điểm \(M\) thuộc mặt đất nên cao độ \({z_M} = 0\). Gọi hình chiếu của \(M\) lên trục \(Oy\) là điểm \(N\) (vị trí của Minh). Do \(MN \bot Oy\) nên tam giác \(ONM\) vuông tại \(N\).
Ta có cạnh huyền \(OM = 3,5{\rm{\;m}}\) và cạnh góc vuông \(MN = 0,5{\rm{\;m}}\). Theo định lý Pythagore:
\(ON = \sqrt {O{M^2} - M{N^2}} = \sqrt {3,{5^2} - 0,{5^2}} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \).
Tọa độ của điểm \(M\) có tung độ \({y_M} = ON = 2\sqrt 3 \) và hoành độ \({x_M} = MN = 0,5\). Vì \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta thế tọa độ vào phương trình mặt phẳng:
\(a \cdot {x_M} - {y_M} = 0 \Rightarrow a \cdot 0,5 - 2\sqrt 3 = 0 \Rightarrow a = \frac{{2\sqrt 3 }}{{0,5}} = 4\sqrt 3 \approx 6,928\).
Vậy giá trị của \(a + c = 4\sqrt 3 + 0 \approx 6,93\).
Đáp án: 6,93.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Giả sử một nghiên cứu về mối quan hệ giữa việc người lái xe máy đội mũ bảo hiểm và tình trạng chấn thương não khi bị tai nạn thu được bảng sau:
| Chấn thương não
Đội mũ | Có | Không |
| Có | 23 | 1247 |
| Không | 366 | 65 |
Tính xác suất một người tai nạn bị chấn thương não biết người đó không đội mũ bảo hiểm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
a. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
b. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có phương trình \(y = x + 1.\)
c. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(\left( {0;2} \right).\)
d. Phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = 5\) có đúng 4 nghiệm phân biệt.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập