Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Tuấn và Minh đang tập chuyền bóng cho nhau, Tuấn ném bóng cho Minh đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Tuấn và rơi xuống vị trí \(M\) cách Minh \(0,5{\rm{\;m}}\) và cách Tuấn \(3,5{\rm{\;m}}\) được mô tả bằng hình vẽ bên dưới.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ (\(1\) đơn vị trên mỗi trục tương ứng với \(1\) mét). Khi đó, quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right):ax - y + cz = 0\) và vuông góc với mặt đất. Tính giá trị của \(a + c\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Mặt đất trùng với mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình \(z = 0\), vectơ pháp tuyến là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\).
Mặt phẳng quỹ đạo \(\left( \alpha \right):ax - y + cz = 0\) vuông góc với mặt đất \(\left( {Oxy} \right)\) nên vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau: \({\vec n_\alpha } \cdot \vec k = 0 \Leftrightarrow a \cdot 0 - 1 \cdot 0 + c \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow c = 0\).
Điểm \(M\) thuộc mặt đất nên cao độ \({z_M} = 0\). Gọi hình chiếu của \(M\) lên trục \(Oy\) là điểm \(N\) (vị trí của Minh). Do \(MN \bot Oy\) nên tam giác \(ONM\) vuông tại \(N\).
Ta có cạnh huyền \(OM = 3,5{\rm{\;m}}\) và cạnh góc vuông \(MN = 0,5{\rm{\;m}}\). Theo định lý Pythagore:
\(ON = \sqrt {O{M^2} - M{N^2}} = \sqrt {3,{5^2} - 0,{5^2}} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \).
Tọa độ của điểm \(M\) có tung độ \({y_M} = ON = 2\sqrt 3 \) và hoành độ \({x_M} = MN = 0,5\). Vì \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta thế tọa độ vào phương trình mặt phẳng:
\(a \cdot {x_M} - {y_M} = 0 \Rightarrow a \cdot 0,5 - 2\sqrt 3 = 0 \Rightarrow a = \frac{{2\sqrt 3 }}{{0,5}} = 4\sqrt 3 \approx 6,928\).
Vậy giá trị của \(a + c = 4\sqrt 3 + 0 \approx 6,93\).
Đáp án: 6,93.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đối với mẫu số liệu ghép nhóm, khoảng biến thiên \(R\) được tính bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: \(R = 45 - 25 = 20\).
Chọn A.
Câu 2
a. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
b. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có phương trình \(y = x + 1.\)
c. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(\left( {0;2} \right).\)
d. Phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = 5\) có đúng 4 nghiệm phân biệt.
Lời giải
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Ta biến đổi hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{{x\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right) + 1}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}.\)
Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = - 2\).
a) SAI. Trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\), đạo hàm \(f'\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { - 1;0} \right)\) và \(f'\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\), do đó hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1;0} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) ĐÚNG. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\), nên đường thẳng \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên.
c) ĐÚNG. Qua điểm \(x = 0\), đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\), giá trị cực tiểu \(y\left( 0 \right) = 2\). Điểm cực tiểu của đồ thị là \(\left( {0;2} \right)\).
d) ĐÚNG. Xét phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = 5 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 5\) hoặc \(f\left( x \right) = - 5\).
\(f\left( x \right) = 5 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 = 5x + 5 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 3 = 0\), phương trình có \({\rm{\Delta }} = 21 > 0\) nên có 2 nghiệm phân biệt khác \( - 1\).
\(f\left( x \right) = - 5 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 = - 5x - 5 \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 7 = 0\), phương trình có \({\rm{\Delta }} = 21 > 0\) nên có 2 nghiệm phân biệt khác \( - 1\).
Tổng cộng có 4 nghiệm phân biệt.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{{20}}{3}.\)
B. \(\frac{8}{3}.\)
C. \(\frac{{25}}{3}.\)
D. \(\frac{{16}}{3}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
a. \(P\left( {A \cup B} \right) = 0,85.\)
b. \(A,B\) là hai biến cố phụ thuộc.
c. \(P\left( {A|B} \right) = 0,833.\)
d. \(P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{{11}}{{14}}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập