Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 6\) cm, \(AC = 9\) cm. Kẻ đường phân giác trong \(AD\) và đường phân giác ngoài \(AE\) của góc \(A\) \((D,E\) nằm trên đường thẳng \(BC).\) Biết \(DC = 6\) cm. Độ dài đoạn thẳng \(EB\) là:

a) Đúng. Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là tia phân giác trong của góc \(A\) nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}.\)

Suy ra \(\frac{{DB}}{3} = \frac{{DC}}{4}.\)

Mà \(DB + DC = BC = 14\) cm, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{DB}}{3} = \frac{{DC}}{4} = \frac{{DB + DC}}{{3 + 4}} = \frac{{14}}{7} = 2.\)

Từ đó suy ra \(DB = 2 \cdot 3 = 6\) cm và \(DC = 2 \cdot 4 = 8\) cm.

b) Sai. Xét \(\Delta ABC\) có \(AE\) là tia phân giác ngoài của góc \(A\) nên \(\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\) (chứng minh tương tự câu 6, Phần 1).

Suy ra \(\frac{{EB}}{{EB + BC}} = \frac{{EB}}{{EB + 14}} = \frac{3}{4}\) do đó \(4EB = 3EB + 42\) nên \(EB = 42\) cm.

c) Đúng. Ta có \(DE = DB + EB = 6 + 42 = 48\) cm.

Vì \(AD\) là tia phân giác trong của góc \(A\) nên \(\widehat {BAD} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}.\)

Vì \(AE\) là tia phân giác ngoài của góc \(A\) nên \(\widehat {BAE} = \frac{1}{2}\widehat {BAx}.\)

Do đó \(\widehat {BAD} + \widehat {BAE} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} + \frac{1}{2}\widehat {BAx} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {BAC} + \widehat {BAx}} \right) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ  = 90^\circ .\)

Khi đó \(\Delta ADE\) vuông tại \(A\), có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(DE\) nên \(AM = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24\) cm.

d) Đúng. Vì \(M\) là trung điểm của \(DE\) nên \(MD = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24\) cm.

Ta có \(MB = MD - BD = 24 - 6 = \) 18 cm và \(AM = MD = 24\) cm.

Do đó \(\Delta MAD\) cân tại \(M\). Suy ra \(\widehat {MAD} = \widehat {MDA}\).

Vì \(BF\,{\rm{//}}\,AD\) nên \(\widehat {MFB} = \widehat {MAD}\) và \(\widehat {MBF} = \widehat {MDA}\).

Suy ra \(\widehat {MFB} = \widehat {MBF}\) nên \(\Delta MBF\) cân tại \(M\).

Do đó \(MF = MB = \) 18 cm.

Xét \(\Delta ADC\) có \(M\) là trung điểm của \(AD\) và \(MI\,{\rm{//}}\,DC\) nên \(MI\) là đường trung bình của tam giác. Suy ra \(MI = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6,5\) cm.

Tương tự, xét \(\Delta DAB\) ta có \(MK\) là đường trung bình của tam giác nên \(MK = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5\) cm.

Do đó \(IK = MI - MK = 6,5 - 2,5 = 4\) cm.

Đáp án: 4.