Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 12\) cm, \(AC = 16\) cm, \(BC = 14\) cm. Đường phân giác trong của góc \(A\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\). Đường phân giác ngoài của góc \(A\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(E\).

a) Đúng. Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là tia phân giác trong của góc \(A\) nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}.\)

Suy ra \(\frac{{DB}}{3} = \frac{{DC}}{4}.\)

Mà \(DB + DC = BC = 14\) cm, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{DB}}{3} = \frac{{DC}}{4} = \frac{{DB + DC}}{{3 + 4}} = \frac{{14}}{7} = 2.\)

Từ đó suy ra \(DB = 2 \cdot 3 = 6\) cm và \(DC = 2 \cdot 4 = 8\) cm.

b) Sai. Xét \(\Delta ABC\) có \(AE\) là tia phân giác ngoài của góc \(A\) nên \(\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\) (chứng minh tương tự câu 6, Phần 1).

Suy ra \(\frac{{EB}}{{EB + BC}} = \frac{{EB}}{{EB + 14}} = \frac{3}{4}\) do đó \(4EB = 3EB + 42\) nên \(EB = 42\) cm.

c) Đúng. Ta có \(DE = DB + EB = 6 + 42 = 48\) cm.

Vì \(AD\) là tia phân giác trong của góc \(A\) nên \(\widehat {BAD} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}.\)

Vì \(AE\) là tia phân giác ngoài của góc \(A\) nên \(\widehat {BAE} = \frac{1}{2}\widehat {BAx}.\)

Do đó \(\widehat {BAD} + \widehat {BAE} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} + \frac{1}{2}\widehat {BAx} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {BAC} + \widehat {BAx}} \right) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ  = 90^\circ .\)

Khi đó \(\Delta ADE\) vuông tại \(A\), có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(DE\) nên \(AM = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24\) cm.

d) Đúng. Vì \(M\) là trung điểm của \(DE\) nên \(MD = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24\) cm.

Ta có \(MB = MD - BD = 24 - 6 = \) 18 cm và \(AM = MD = 24\) cm.

Do đó \(\Delta MAD\) cân tại \(M\). Suy ra \(\widehat {MAD} = \widehat {MDA}\).

Vì \(BF\,{\rm{//}}\,AD\) nên \(\widehat {MFB} = \widehat {MAD}\) và \(\widehat {MBF} = \widehat {MDA}\).

Suy ra \(\widehat {MFB} = \widehat {MBF}\) nên \(\Delta MBF\) cân tại \(M\).

Do đó \(MF = MB = \) 18 cm.