Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + bx + c}}{{x - 1}}\) có đồ thị như hình vẽ.

Từ dữ kiện bài toán, các đỉnh có tọa độ: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {7;0;0} \right)\), \(D\left( {0;10;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;7} \right)\). Vì đây là hình hộp chữ nhật đặt vào hệ trục nên \(C\left( {7;10;0} \right)\) và \(C'\left( {7;10;7} \right)\), \(D'\left( {0;10;7} \right)\).

Mệnh đề a): ĐÚNG. Hình chiếu \(M'\) của \(M\) xuống đáy \(\left( {ABCD} \right)\), chính là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tọa độ là \(\left( {\frac{7}{2};5;0} \right)\), ta thấy điểm \(M'\) có tọa độ chính là tọa độ tâm của hình chữ nhật \(ABCD\), tức là \(M'\) cách đều \(A,B,C\) và \(D\). Từ đó suy ra khoảng cách từ \(M\) tới 4 đỉnh đáy bằng nhau hay \(M\) cách đều \(A,B,C\) và \(D\).

Mệnh đề b): ĐÚNG. \(\overrightarrow {AC'} = C' - A = \left( {7;10;7} \right) - \left( {0;0;0} \right) = \left( {7;10;7} \right)\).

Mệnh đề c): SAI. Ta có \(\overrightarrow {DD'} = D' - D = \left( {0;10;7} \right) - \left( {0;10;0} \right) = \left( {0;0;7} \right)\).

Tích vô hướng \(\overrightarrow {AC'} \cdot \overrightarrow {DD'} = 7 \cdot 0 + 10 \cdot 0 + 7 \cdot 7 = 49 \ne 7\).

Mệnh đề d): ĐÚNG. Tâm hình hộp chữ nhật là trung điểm của đường chéo \(AC'\), tọa độ là:

\(I = \left( {\frac{{0 + 7}}{2};\frac{{0 + 10}}{2};\frac{{0 + 7}}{2}} \right) = \left( {\frac{7}{2};5;\frac{7}{2}} \right)\).

Mệnh đề a): ĐÚNG. Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = AB \cdot AD = x \cdot y = 384\).

Mệnh đề b): SAI. Vì lề trái và lề phải đều rộng \(2{\rm{\;cm}}\), nên chiều rộng phần in chữ phải trừ đi cả 2 lề: \(x - 2 - 2 = x - 4\). Tương tự, lề trên và dưới đều là \(3{\rm{\;cm}}\) nên chiều dài phần in chữ là \(y - 3 - 3 = y - 6\).

Mệnh đề d): SAI. Công thức diện tích đúng phải là \(S = \left( {x - 4} \right)\left( {y - 6} \right)\).

Mệnh đề c): ĐÚNG. Ta tính diện tích lớn nhất của phần in chữ:

\(S = \left( {x - 4} \right)\left( {y - 6} \right) = xy - 6x - 4y + 24 = 384 + 24 - \left( {6x + 4y} \right) = 408 - \left( {6x + 4y} \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(6x\) và \(4y\):

\(6x + 4y \ge 2\sqrt {6x \cdot 4y} = 2\sqrt {24xy} = 2\sqrt {24 \cdot 384} = 2\sqrt {9216} = 2 \cdot 96 = 192\).

Do đó: \(S \le 408 - 192 = 216{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\). Dấu "=" xảy ra khi \(6x = 4y \Rightarrow 6{x^2} = 4xy = 4 \cdot 384 \Rightarrow x = 16 \Rightarrow y = 24\).