PHẦN III. Trả lời ngắn (3.0 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Khối lượng \(q{\rm{\;(kg)}}\) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán \(p\) (nghìn đồng/kg) theo công thức \(p = 15 - \frac{1}{2}q\). Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức \(R = p \cdot q\). Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm (đơn vị: nghìn đồng) để đạt được doanh thu cao nhất?

Từ dữ kiện bài toán, các đỉnh có tọa độ: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {7;0;0} \right)\), \(D\left( {0;10;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;7} \right)\). Vì đây là hình hộp chữ nhật đặt vào hệ trục nên \(C\left( {7;10;0} \right)\) và \(C'\left( {7;10;7} \right)\), \(D'\left( {0;10;7} \right)\).

Mệnh đề a): ĐÚNG. Hình chiếu \(M'\) của \(M\) xuống đáy \(\left( {ABCD} \right)\), chính là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tọa độ là \(\left( {\frac{7}{2};5;0} \right)\), ta thấy điểm \(M'\) có tọa độ chính là tọa độ tâm của hình chữ nhật \(ABCD\), tức là \(M'\) cách đều \(A,B,C\) và \(D\). Từ đó suy ra khoảng cách từ \(M\) tới 4 đỉnh đáy bằng nhau hay \(M\) cách đều \(A,B,C\) và \(D\).

Mệnh đề b): ĐÚNG. \(\overrightarrow {AC'} = C' - A = \left( {7;10;7} \right) - \left( {0;0;0} \right) = \left( {7;10;7} \right)\).

Mệnh đề c): SAI. Ta có \(\overrightarrow {DD'} = D' - D = \left( {0;10;7} \right) - \left( {0;10;0} \right) = \left( {0;0;7} \right)\).

Tích vô hướng \(\overrightarrow {AC'} \cdot \overrightarrow {DD'} = 7 \cdot 0 + 10 \cdot 0 + 7 \cdot 7 = 49 \ne 7\).

Mệnh đề d): ĐÚNG. Tâm hình hộp chữ nhật là trung điểm của đường chéo \(AC'\), tọa độ là:

\(I = \left( {\frac{{0 + 7}}{2};\frac{{0 + 10}}{2};\frac{{0 + 7}}{2}} \right) = \left( {\frac{7}{2};5;\frac{7}{2}} \right)\).

Từ hình vẽ, đồ thị đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\), tức khi \(x = 0\) thì \(y = 0 \Rightarrow c = 0\).

Khi đó \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + bx}}{{x - 1}}\).

Lại có đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;4} \right)\) nên \(\frac{{{2^2} + 2b}}{{2 - 1}} = 4 \Leftrightarrow b = 0\).

Khi đó hàm số là \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 1}}\).

Mệnh đề a): ĐÚNG. Tâm đối xứng của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là giao điểm của tiệm cận đứng \(x = 1\) và tiệm cận xiên \(y = x + 1\). Ta xác định được tâm đối xứng chính xác là \(I\left( {1;2} \right)\).

Mệnh đề b): ĐÚNG. Từ đồ thị, ta thấy trên khoảng \(\left( { - 100;0} \right)\), đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 100;0} \right]\) đạt được tại \(x = - 100 \Rightarrow y = \frac{{{{\left( { - 100} \right)}^2}}}{{ - 100 - 1}} = - \frac{{10000}}{{101}}\).

Mệnh đề c): ĐÚNG. Điều kiện xác định là \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1 \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Mệnh đề d): SAI. Do ta giải ra \(b = 0,c = 0 \Rightarrow b + c = 0 \ne 1\).