Cho hình chóp \(S.ABC\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(SAB\) và tam giác \(SAC\).

Khi đó đường thẳng \(MN\) song song với đường thẳng nào dưới đây?

a) Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\):

• Điểm \(S\) là điểm chung thứ nhất: \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right)\).
• Điểm \(A\) là điểm chung thứ hai: \(A \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right)\).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng này chính là đường thẳng nối hai điểm chung: \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\).

b) Gọi \[E\] là trung điểm của \[SD\]. Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAD\) nên \(\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{2}{3}\).

Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\), khi đó \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

Suy ra \(AC = 2AO\). Vì \(AC = 3AH\) nên \(AH = \frac{1}{3}AC = \frac{1}{3} \cdot 2AO = \frac{2}{3}AO \Rightarrow \frac{{AH}}{{AO}} = \frac{2}{3}\).

Từ đó suy ra \(\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{{AH}}{{AO}} = \frac{2}{3}\), do đó \(GH{\rm{//}}EO\) (1).

Lại có \(E\) và \[O\] lần lượt là trung điểm của \[SD\] và \(BD\) nên \(EO\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\), suy ra \(EO{\rm{//}}SB\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(GH{\rm{//}}SB\). Mà \(SB \subset \left( {SBC} \right)\) và \(GH \not\subset \left( {SBC} \right)\), vậy \(GH{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).

a) ĐÚNG

Giải phương trình: \(f\left( x \right) = - 1 \Leftrightarrow 3\sin x + 2 = - 1 \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Để tìm nghiệm âm lớn nhất, ta giải bất phương trình: \( - \frac{\pi }{2} + k2\pi < 0 \Leftrightarrow k2\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow k < \frac{1}{4}\).

Vì \(k \in \mathbb{Z}\), số nguyên lớn nhất thỏa mãn là \(k = 0\). Khi đó nghiệm âm lớn nhất thu được là \(x = - \frac{\pi }{2}\).

b) ĐÚNG

Hàm số lượng giác \(y = \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\), nên \(f\left( x \right) = 3\sin x + 2\) cũng có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

c) ĐÚNG

Thay \(x = \pi \) vào hàm số: \(f\left( \pi \right) = 3\sin \left( \pi \right) + 2 = 3 \cdot 0 + 2 = 2\).

d) SAI

Ta luôn có: \( - 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le 3\sin x \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le 3\sin x + 2 \le 5,\forall x \in \mathbb{R}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - 1\) (đạt được khi \(\sin x = - 1\)), không phải bằng \(2\).