Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}}}&{{\rm{khi\;}}x > 3}\\{\frac{{13}}{4} - ax}&{{\rm{khi\;}}x \le 3}\end{array}} \right.\). Khi đó ta có:
a. Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 3\) khi \(a = 1\).
b. \(f\left( 8 \right) = - \frac{1}{5}\).
c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \frac{m}{n}\) (\(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản). Khi đó \({m^2} + {n^2} = 17\).
d. Khi \(a = 1 \Rightarrow f\left( 3 \right) = \frac{1}{4}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
c) ĐÚNG
Ta tính giới hạn bên phải tại điểm \(x = 3\):
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x + 1 - 4}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt 4 + 2}} = \frac{1}{4}\).
Do phân số \(\frac{1}{4}\) là phân số tối giản nên \(m = 1,n = 4\). Khi đó: \({m^2} + {n^2} = {1^2} + {4^2} = 1 + 16 = 17\).
a) ĐÚNG
Để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 3\), ta cần điều kiện: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\).
Ta có: \(f\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {\frac{{13}}{4} - ax} \right) = \frac{{13}}{4} - 3a\).
Do đó: \(\frac{{13}}{4} - 3a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 3a = \frac{{12}}{4} \Leftrightarrow 3a = 3 \Leftrightarrow a = 1\).
b) SAI
Với \(x = 8 > 3\), ta sử dụng biểu thức nhánh trên để tính: \(f\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {8 + 1} - 2}}{{8 - 3}} = \frac{{3 - 2}}{5} = \frac{1}{5}\).
Phát biểu nói \(f\left( 8 \right) = - \frac{1}{5}\) là sai.
d) ĐÚNG
Khi \(a = 1\), ta tính trực tiếp giá trị tại \(x = 3\): \(f\left( 3 \right) = \frac{{13}}{4} - 1 \cdot 3 = \frac{1}{4}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\):
- Điểm \(S\) là điểm chung thứ nhất: \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right)\).
- Điểm \(A\) là điểm chung thứ hai: \(A \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right)\).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng này chính là đường thẳng nối hai điểm chung: \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\).
b) Gọi \[E\] là trung điểm của \[SD\]. Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAD\) nên \(\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{2}{3}\).
Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\), khi đó \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).
Suy ra \(AC = 2AO\). Vì \(AC = 3AH\) nên \(AH = \frac{1}{3}AC = \frac{1}{3} \cdot 2AO = \frac{2}{3}AO \Rightarrow \frac{{AH}}{{AO}} = \frac{2}{3}\).
Từ đó suy ra \(\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{{AH}}{{AO}} = \frac{2}{3}\), do đó \(GH{\rm{//}}EO\) (1).
Lại có \(E\) và \[O\] lần lượt là trung điểm của \[SD\] và \(BD\) nên \(EO\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\), suy ra \(EO{\rm{//}}SB\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(GH{\rm{//}}SB\). Mà \(SB \subset \left( {SBC} \right)\) và \(GH \not\subset \left( {SBC} \right)\), vậy \(GH{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
Lời giải
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{3{x^2} - 13x - 10}}{{25 - {x^2}}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {3x + 2} \right)}}{{ - \left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{3x + 2}}{{ - \left( {x + 5} \right)}}\)\[ = \frac{{3 \cdot 5 + 2}}{{ - \left( {5 + 5} \right)}} = - \frac{{17}}{{10}}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\sin \alpha > 0;\cos \alpha < 0\).
B. \(\sin \alpha < 0;\cos \alpha > 0\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(MN{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
B. \(MN{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
C. \(MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
D. \(MN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
\(L = \frac{2}{3}\).
\(L = 0\).
\(L = 2\).
\(L = \frac{1}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập