Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{9 \cdot {2^n} + {3^n}}}{{{2^n} + 5 \cdot {3^n}}}\) bằng

a) ĐÚNG: Ta có \(BD{\rm{//}}B'D'\) và \(BC'{\rm{//}}AD'\) nên \(\left( {AB'D'} \right){\rm{//}}\left( {BDC'} \right)\).

b) SAI: Hình hộp bất kỳ có các mặt là hình bình hành, chỉ khi là hình hộp chữ nhật thì các mặt mới là hình chữ nhật.

c) ĐÚNG: Do \(AB{\rm{//}}CD\) và \(CD{\rm{//}}C'D'\) nên \(AB{\rm{//}}C'D'\).

d) SAI: Điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\), do đó đường thẳng \(A'B\) cắt mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) tại \(B\).

a) Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) có điểm chung đầu tiên là \(S\).

Mặt khác, ta có \(AB \subset \left( {SAB} \right)\), \(CD \subset \left( {SCD} \right)\) và \(AB{\rm{//}}CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành).

Theo định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song, giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AB\) và \(CD\).

Vậy \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d{\rm{\;\;}}\left( {d{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD,S \in d} \right)\).

b) Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\) và \(M\) là trung điểm \(AB\), nên \(G\) nằm trên trung tuyến \(SM\) và thỏa mãn: \(\frac{{MG}}{{MS}} = \frac{1}{3}\).

Theo giả thiết \(CF = 2MF \Rightarrow MC = MF + FC = MF + 2MF = 3MF \Rightarrow \frac{{MF}}{{MC}} = \frac{1}{3}\).

Xét trong tam giác \(SMC\), ta có: \(\frac{{MG}}{{MS}} = \frac{{MF}}{{MC}} = \frac{1}{3}\).

Theo định lý Thales đảo, ta suy ra \(GF{\rm{//}}SC\).

c)  Từ câu b, ta đã có \(GF{\rm{//}}SC\). Mà \(SC \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(GF{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), qua điểm \(F\) kẻ đường thẳng song song với \(CD\), cắt cạnh \(AD\) tại \(E'\).

Do \(E'F{\rm{//}}CD\) và \(CD \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(E'F{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {E'FG} \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(GF\) và \(E'F\) cùng song song với \(\left( {SCD} \right)\), nên:

                          \(\left( {E'FG} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).

Suy ra \(E'G{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\). Do đó, điểm \(E\) cần tìm chính là điểm \(E'\).

Khi đó ta có \(EF{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\), theo định lý Thales, ta có: \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{MF}}{{MC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow AD = 3AE\).

Theo đề bài: \(AD = x \cdot AE \Rightarrow x = 3\).

Kết luận: \(x = 3\).