Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi công thức số hạng tổng quát sau, dãy số nào là dãy số giảm?

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(I\) và song song với \(\left( {SAD} \right)\):

\(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( {SAD} \right) \Rightarrow \left( \alpha \right)\) cắt \(\left( {ABCD} \right)\) theo giao tuyến đi qua \(I\) và song song với \(AD\). Gọi \(J\) là trung điểm của \(AB\), ta có \(IJ{\rm{//}}AD\).

\(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( {SAD} \right) \Rightarrow \left( \alpha \right)\) cắt \(\left( {SCD} \right)\) theo giao tuyến đi qua \(I\) và song song với \(SD\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(SC\), ta có \(IK{\rm{//}}SD\).

\(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( {SAD} \right) \Rightarrow \left( \alpha \right)\) cắt \(\left( {SAB} \right)\) theo giao tuyến đi qua \(J\) và song song với \(SA\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(SB\), ta có \(JH{\rm{//}}SA\).

Do đó, mặt cắt (thiết diện) là hình thang \(IJHK\) với \(HK{\rm{//}}IJ{\rm{//}}AD\).

Ta có \(IJ = AD = 50{\rm{\;cm}}\).

\(HK\) là đường trung bình của , nên \(HK = \frac{1}{2}BC = 25{\rm{\;cm}}\).

Cạnh bên \(IK\): \(IK\) là đường trung bình .

Cạnh bên \(JH\): \(JH\) là đường trung bình .

Do \(IK = JH = 25{\rm{\;cm}}\), thiết diện \(IJHK\) là hình thang cân.

Chiều cao \(h\) của hình thang cân \(IJHK\):

\(h = \sqrt {I{K^2} - {{\left( {\frac{{IJ - HK}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{25}^2} - {{\left( {\frac{{50 - 25}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {625 - 156,25} = \sqrt {468,75} = \frac{{25\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;cm}}\).

Diện tích mặt cắt: \(S = \frac{{IJ + HK}}{2} \cdot h = \frac{{50 + 25}}{2} \cdot \frac{{25\sqrt 3 }}{2} = \frac{{75 \cdot 25\sqrt 3 }}{4} = \frac{{1875\sqrt 3 }}{4} \approx 811,899{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\).

Làm tròn đến hàng đơn vị: \(812{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\).

Đáp số: \(812\).

Số từ chị Lan gõ mỗi ngày lập thành một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 250\) và công sai \(d = 15\).

Tổng số từ gõ được sau \(n\) ngày là: \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 250 + 15\left( {n - 1} \right)} \right] = \frac{n}{2}\left( {15n + 485} \right)\).

Tìm \(n\) nhỏ nhất sao cho \({S_n} \ge 42500\): \(\frac{{n\left( {15n + 485} \right)}}{2} \ge 42500 \Leftrightarrow 15{n^2} + 485n - 85000 \ge 0\).

Vì \(n \in {\mathbb{N}^*}\), giá trị \(n\) nhỏ nhất thỏa mãn là \(n = 61\).

Số từ chị Lan gõ được trong ngày thứ 61 là: \({u_{61}} = {u_1} + 60d = 250 + 60 \cdot 15 = 250 + 900 = 1150\).

Đáp số: \(1150\).