Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình thoi. Gọi \(M\) là trung điểm \(SA\), điểm \(N\) thuộc \(AD\) sao cho \(MN\) song song với mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\). Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SNB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {MBD} \right)\) là

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(I\) và song song với \(\left( {SAD} \right)\):

\(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( {SAD} \right) \Rightarrow \left( \alpha \right)\) cắt \(\left( {ABCD} \right)\) theo giao tuyến đi qua \(I\) và song song với \(AD\). Gọi \(J\) là trung điểm của \(AB\), ta có \(IJ{\rm{//}}AD\).

\(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( {SAD} \right) \Rightarrow \left( \alpha \right)\) cắt \(\left( {SCD} \right)\) theo giao tuyến đi qua \(I\) và song song với \(SD\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(SC\), ta có \(IK{\rm{//}}SD\).

\(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( {SAD} \right) \Rightarrow \left( \alpha \right)\) cắt \(\left( {SAB} \right)\) theo giao tuyến đi qua \(J\) và song song với \(SA\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(SB\), ta có \(JH{\rm{//}}SA\).

Do đó, mặt cắt (thiết diện) là hình thang \(IJHK\) với \(HK{\rm{//}}IJ{\rm{//}}AD\).

Ta có \(IJ = AD = 50{\rm{\;cm}}\).

\(HK\) là đường trung bình của , nên \(HK = \frac{1}{2}BC = 25{\rm{\;cm}}\).

Cạnh bên \(IK\): \(IK\) là đường trung bình .

Cạnh bên \(JH\): \(JH\) là đường trung bình .

Do \(IK = JH = 25{\rm{\;cm}}\), thiết diện \(IJHK\) là hình thang cân.

Chiều cao \(h\) của hình thang cân \(IJHK\):

\(h = \sqrt {I{K^2} - {{\left( {\frac{{IJ - HK}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{25}^2} - {{\left( {\frac{{50 - 25}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {625 - 156,25} = \sqrt {468,75} = \frac{{25\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;cm}}\).

Diện tích mặt cắt: \(S = \frac{{IJ + HK}}{2} \cdot h = \frac{{50 + 25}}{2} \cdot \frac{{25\sqrt 3 }}{2} = \frac{{75 \cdot 25\sqrt 3 }}{4} = \frac{{1875\sqrt 3 }}{4} \approx 811,899{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\).

Làm tròn đến hàng đơn vị: \(812{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\).

Đáp số: \(812\).

a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Khi đó \(CO\) là đường trung tuyến của .

Vì \(G\) là trọng tâm nên: \(\frac{{CG}}{{CO}} = \frac{2}{3}\).

Mặt khác, \(M \in BC\) sao cho \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{CM}}{{CB}} = \frac{2}{3}\).

Trong , ta có: \(\frac{{CG}}{{CO}} = \frac{{CM}}{{CB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow GM{\rm{//}}BO \Rightarrow GM{\rm{//}}BD\).

Vì \(BD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(GM{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\) \(\left( 1 \right)\).

Tương tự, \(N \in SC\) sao cho \(\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{CN}}{{CS}} = \frac{2}{3}\).

Trong , ta có: \(\frac{{CN}}{{CS}} = \frac{{CM}}{{CB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN{\rm{//}}SB\).

Vì \(SB \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\) \(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), vì \(GM \cap MN = M\) và cùng nằm trong \(\left( {GMN} \right)\), suy ra: \(\left( {GMN} \right){\rm{//}}\left( {SBD} \right)\).

b) Xét hai mặt phẳng \(\left( {SDC} \right)\) và \(\left( {GMN} \right)\):

Điểm \(N \in SC \subset \left( {SDC} \right)\) và \(N \in \left( {GMN} \right)\), nên \(N\) là một điểm chung.

Trong tam giác \(BCD\), kéo dài \[MG\] cắt \[CD\] tại \[K\].

Khi đó \(K \in MG \subset \left( {GMN} \right)\) và \(K \in CD \subset \left( {SDC} \right)\), nên \(K\) là điểm chung thứ hai.

Do đó, giao tuyến của \(\left( {SDC} \right)\) và \(\left( {GMN} \right)\) là đường thẳng \(NK\).

Hơn nữa \(SD \subset \left( {SDC} \right)\) và \(\left( {GMN} \right){\rm{//}}\left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {GMN} \right){\rm{//}}SD\).

Vậy giao tuyến của \(\left( {SDC} \right)\) và \(\left( {GMN} \right)\) là đường thẳng \(NK\) song song với \(SD\).