Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, biết đáy lớn \(AD = 4\), đáy nhỏ \(BC = 2\). Gọi \(E,F\) lần lượt lấy trên \(SA\) và \(SD\) sao cho \(SE = x \cdot SA\), \(SF = x \cdot SD\). \(K\) là giao điểm của các đường thẳng \(AB\) và \(CD\). \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {CDE} \right)\), đường thẳng \(SC\) cắt mặt phẳng \(\left( {EFM} \right)\) tại \(N\). Tìm \(x\) để tỉ số diện tích của hai tam giác \(KMN\) và \(KEF\) là \(\frac{4}{9}\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{E \in SA \subset \left( {SAB} \right)}\\{E \in \left( {CDE} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow E \in \left( {CDE} \right) \cap \left( {SAB} \right)\).

\(AB \cap CD = K \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in AB \subset \left( {SAB} \right)}\\{K \in CD \subset \left( {CDE} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow K \in \left( {CDE} \right) \cap \left( {SAB} \right)\).

Nên \(KE = \left( {CDE} \right) \cap \left( {SAB} \right)\).

Lại có: \(SB \subset \left( {SAB} \right),SB \cap \left( {CDE} \right) = M \Rightarrow M = SB \cap KE\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in EM \subset \left( {EFM} \right)}\\{K \in CD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow K \in \left( {EFM} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{F \in \left( {EFM} \right)}\\{F \in SD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow F \in \left( {EFM} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

Nên \(KF = \left( {EFM} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

Lại có: \(SC \subset \left( {SCD} \right)\), \(SC \cap \left( {EFM} \right) = N \Rightarrow N = SC \cap KF \Rightarrow \exists \left( {EFNM} \right)\).

Theo đề bài: \(SE = x \cdot SA\), \(SF = x \cdot SD\), suy ra \[\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{EF}}{{AD}} = \frac{x}{1} \Rightarrow EF{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC \Rightarrow \exists \left( {EFCB} \right)\].

Từ đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {EFCB} \right) \cap \left( {EFNM} \right) = EF\\\left( {EFNM} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MN\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {EFCB} \right) = BC\end{array} \right. \Rightarrow EF{\rm{//}}MN{\rm{//}}BC \Rightarrow \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{MN}}{{\frac{1}{2}AD}}\,\,\left( 1 \right)\).

$\left\{\begin{array}{l}BC\text{//}AD\\ BC=\frac{1}{2}AD\\ \Delta KBC\backsim \Delta KAD\end{array}\right.\Rightarrow \frac{KA}{KB}=2$.

Kẻ \(BL{\rm{//}}AS\).

Nên $△KBL\backsim △KAE$, $△MBL\backsim △MSE$:

\(\frac{{KA}}{{KB}} = \frac{{AE}}{{BL}},\quad \frac{{MB}}{{MS}} = \frac{{BL}}{{SE}} \Rightarrow \frac{{KA}}{{KB}} \cdot \frac{{MB}}{{MS}} = \frac{{AE}}{{SE}} \Rightarrow 2\frac{{MB}}{{MS}} = \frac{{AE}}{{SE}} = \frac{{SA - SE}}{{SE}} = \frac{{1 - x}}{x}\)

Nên \(\frac{{MB}}{{MS}} = \frac{{1 - x}}{{2x}} \Rightarrow \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{2x}}{{1 + x}}\quad \left( 2 \right)\).

Kết hợp với \(\left( 1 \right)\) ta có: \(\frac{{MN}}{{\frac{1}{2}AD}} = \frac{{2x}}{{1 + x}} \Rightarrow \frac{{MN}}{{EF}} = \frac{1}{{1 + x}}\).

Mặt khác: \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}&{\left( {{\rm{th/m\~a n}}} \right)}\\{x = - \frac{5}{2}}&{\left( {{\rm{loai}}} \right)}\end{array}} \right.\).

Vậy \(x = \frac{1}{2} = 0,5\).

Đáp án: \(0,5\).