Xét các mệnh đề sau trong không gian:

(1) Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng.

(2) Hai đường thẳng không song song thì cắt nhau.

(3) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

(4) Hai đường thẳng cắt nhau thì không đồng phẳng.

Trong các mệnh đề đã cho, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) không song song nên cắt nhau tại một điểm \(K\).

Ta có: \(K \in AD\) và \(K \in BC \subset \left( {MBC} \right) \Rightarrow K \in \left( {MBC} \right)\).

Do đó, \(K\) chính là giao điểm của \(AD\) và mặt phẳng \(\left( {MBC} \right)\), tức là giao điểm của \(AD\) với \(BC\).

Chọn A.

Xác định giao điểm \(E\):

Trong , \(M,N\) là trung điểm của \(SB,SD \Rightarrow MN{\rm{//}}BD\).

Vì \(MN{\rm{//}}BD\) với \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\), nên \(\left( {MNP} \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) theo giao tuyến \(d\) đi qua \(P\) và \(d{\rm{//}}BD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), đường thẳng qua \(P\) song song với \(BD\) cắt \(AC\) tại \(K\).

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(I = MN \cap SO \Rightarrow I\) là trung điểm của \(SO\).

Đường thẳng \(IK\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) cắt \(SA\) tại điểm \(E\).

Ta có \(I \in MN \subset \left( {MNP} \right)\) và \(K \in d \subset \left( {MNP} \right)\), suy ra \(IK \subset \left( {MNP} \right)\). Vậy \(E\) là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) với cạnh \(SA\).

Tính tỉ số \(\frac{{SE}}{{SA}}\):

Trong , \(O\) là trung điểm \(AC\), \(P\) là trung điểm \(BC\).

Đường thẳng \(PK{\rm{//}}BO\) cắt \(AC\) tại \(K \Rightarrow K\) là trung điểm của \(CO\).

Do đó: \(CK = \frac{1}{2}CO = \frac{1}{4}CA \Rightarrow AK = AC - CK = \frac{3}{4}AC\).

Suy ra tỉ số: \(\frac{{AK}}{{KO}} = \frac{{\frac{3}{4}AC}}{{\frac{1}{4}AC}} = 3\).

Xét tam giác \(SAO\) và đường thẳng \(E - I - K\) cắt \(SA,SO,AO\) lần lượt tại \(E,I,K\). Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(SAO\) ta được \(\frac{{SE}}{{EA}} \cdot \frac{{AK}}{{KO}} \cdot \frac{{OI}}{{IS}} = 1\).

Vì \(I\) là trung điểm \(SO \Rightarrow \frac{{OI}}{{IS}} = 1\). Thay các tỉ số vào: \(\frac{{SE}}{{EA}} \cdot 3 \cdot 1 = 1 \Rightarrow \frac{{SE}}{{EA}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra \(m = 1,n = 3\).

Giá trị \(2m + n = 2 \cdot 1 + 3 = 5\).

Đáp số: \(5\).