Cho dãy số (un), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} - 1\end{array} \right.\) (với \(n \in {\mathbb{N}^*}\)). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a. Số hạng thứ năm của dãy số là 685.
b. Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{1}{3}\) thì (vn) là cấp số nhân.
c. Số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{8}{3} \cdot {4^{n - 1}} + \frac{1}{3}\).
d. Tổng của 8 số hạng đầu tiên của dãy số (vn) xấp xỉ bằng 58253.
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Cấp số nhân lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Cho dãy số (un), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} - 1\end{array} \right.\) (với \(n \in {\mathbb{N}^*}\)). Số hạng thứ năm của dãy số là 683.
Ta có: u2 = 4u1 - 1 = 4.3 - 1 = 12 - 1 = 11
u3 = 4u2 - 1 = 4.11 - 1 = 43.
u4 = 4u3 - 1 = 4.43 - 1 = 171.
u5 = 4u4 - 1 = 4.171 - 1 = 683.
Vậy số hạng thứ năm của dãy là 683.
b) Đúng. Ta có: un+1 = 4un - 1 ⇔ \({u_{n + 1}} - \frac{1}{3} = 4\left( {{u_n} - \frac{1}{3}} \right)\).
Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{1}{3}\). Ta có: vn + 1 = 4vn. Suy ra (vn) là cấp số nhân
c) Đúng. Ta có: vn + 1 = 4vn. Suy ra (vn) là cấp số nhân với \(\left\{ \begin{array}{l}q = 4\\{v_1} = {u_1} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}\end{array} \right.\)
Suy ra \({v_n} = {v_1}{q^{n - 1}} = \frac{8}{3} \cdot {4^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = \frac{8}{3} \cdot {4^{n - 1}} + \frac{1}{3}\)
d) Đúng. \({S_8} = {v_1} \cdot \frac{{1 - {q^8}}}{{1 - q}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{{1 - {4^8}}}{{1 - 4}} \approx 58253\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Theo đề bài ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{S_n} = 728}\\{{u_n} = 486}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 728}\\{{u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 486}\end{array}} \right.} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} - {u_1}{q^n} = 728\left( {1 - q} \right)}\\{{u_1} \cdot {q^n} = 486q}\end{array}} \right.\]
Thay q= 3 vào (*) ta được :
\[ \Rightarrow {{\rm{u}}_1} - 486{\rm{q}} = 728\left( {1 - q} \right)\]
\[{{\rm{u}}_1} - 486.3 = 728.(1 - 3)\]\[ \Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} = 2\]
Câu 2
A. \[\frac{{3\,\,280}}{{6\,\,561}}\];
B. \[\frac{{29\,\,524}}{{59\,\,049}}\];
C. \[\frac{{25\,\,942}}{{59\,\,049}}\];
D. \[\frac{1}{{243}}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Đặt \[{v_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{{{u_{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{1}{3}\;{v_{\rm{n}}}}\\{{v_1} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\]
Suy ra \[{\rm{S}} = \sum\limits_1^{10} {\;{v_{\rm{n}}}} \] trong đó là cấp số nhân với công sai \[{\rm{q}} = \frac{1}{3}\].
Do đó \[{\rm{S}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{29\,\,524}}{{59\,\,049}}\].
Câu 3
\[A.\frac{2}{3} \cdot \left[ {1 - {3^{19}}} \right]\];
\[B.\frac{2}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]\];
\[C.\frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]\];
\[D.\frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {3^{20}}} \right]\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \[\frac{{10}}{{21}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\];
B. \[\frac{{50}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\];
C. \[\frac{{10}}{9}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\];
D. Đáp án khác
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
\[A.1 - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n}\quad \];
\[B.\frac{1}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\];
\[C.3.\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\];
\[D.\frac{2}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \[\frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\];
B. \[\frac{{7\left( {{{10}^n} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\];
C. \[\frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{9}\];
D. \[\frac{{{{10}^{n + 1}} - 9n - 10}}{{81}}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
\[A.\frac{{3\left( {{3^{20}} - 1} \right)}}{2}\];
\[B.\;{3^{30}} - 1\];
\[C.\frac{{2\left( {{3^{20}} - 1} \right)}}{3}\];
\[D.10 \cdot \left( {{3^{20}} - 3} \right)\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập