Bài tập Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[{\rm{S}} = 3 + {\left( { - 3} \right)^2} + {3^3} + {\left( { - 3} \right)^4} + \ldots + {\left( { - 3} \right)^{20}}\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{S}} = 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + \ldots + {3^{20}}\]

Nhận xét: Dãy số 3; 3²; 3³; 3⁴; ... ; 3²⁰ là cấp số nhân với số hạng đầu là u₁ = 3 và công bội q = 3.

Do đó, tổng 20 số hạng của dãy số là: \[S = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {3^{20}}} \right)}}{{1 - 3}} = \frac{{3\left( {{3^{20}} - 1} \right)}}{2}\].

Đáp án đúng là: B

Ta có dãy số (–1); (–1)²; (–1)³; …; (–1)⁴¹ là cấp số nhân gồm 41 số hạng với số hạng đầu là u₁ = −1 và công bội q = −1.

Do đó \[S = \frac{{( - 1) \cdot \left[ {1 - {{( - 1)}^{41}}} \right]}}{{1 - ( - 1)}} = \frac{{( - 1) \cdot \left[ {1 + 1} \right]}}{{1 + 1}} = - 1\].

Đáp án đúng là: D

Số nguyên tố bé nhất là 2 nên q = 2.

Ta có: \[{S_k} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^k}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^k}} \right)}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^k} - 1} \right)\]

Theo giả thiết, ta có: \[3\left( {{2^{\rm{k}}} - 1} \right) = 189\]

\[ \Leftrightarrow {2^{\rm{k}}} - 1 = 63 \Leftrightarrow {2^{\rm{k}}} = 64 \Leftrightarrow {\rm{k}} = 6\].

Đáp án đúng là: B

Ta có dãy số \[\frac{1}{4}\,;\,\,\frac{1}{{{4^2}}}\,;\,\,\frac{1}{{{4^3}}}\,;\,\, \ldots \,;\,\,\frac{1}{{{4^n}}}\] theo thứ tự lập thành cấp số nhân với n số hạng, với \[{u_1} = \frac{1}{4}\,;\,\,q = \frac{1}{4}\].

Tổng n số hạng đầu tiên của dãy là:

\[{S_n} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]\].

Đáp án đúng là: B

Nhận xét: \[9\left( {5 + 55 + 555 + \ldots + 555 \ldots 5} \right)\]

\[ = 5.\left( {9 + 99 + 999 + 9999 \ldots 9} \right)\]

Do đó: \[{{\rm{S}}_{\rm{n}}} = 5 + 55 + 555 + . + 555 \ldots 5\]

\[ = \frac{5}{9}\left( {9 + 99 + 999 + \ldots + 999 \ldots 9} \right)\]

\[ = \frac{5}{9} \cdot \left[ {(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + .. + \left( {{{10}^n} - 1} \right)} \right]\]

\[ = \frac{5}{9}\left[ {\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + .. + {{10}^n}} \right) - n} \right]\]

\[ = \frac{5}{9} \cdot \left[ {10 \cdot \frac{{1 - {{10}^n}}}{{1 - 10}} - n} \right] = \frac{{50}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\].

Ta có 10 + 10² + 10³ + ..+ 10ⁿ là tổng của cấp số nhân với số hạng đầu u₁ =10 và công bội q = 10.

Do đó \[10 + {10^2} + {10^3} + .. + {10^{\rm{n}}} = \frac{{10 \cdot \left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}}\].

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[B = 7 + 77 + 777 + \cdots + \underbrace {{\rm{77}}...{\rm{7 }}}_{n\,{\rm{ số \, 7}}}\]

 \[ \Leftrightarrow B = 7\left( {1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace {{\rm{11}}...{\rm{1 }}}_{n\,{\rm{ số }}\,1}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{B}{7} = 1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace {{\rm{11}}...{\rm{1 }}}_{n\,{\rm{ số\, }}1}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = 9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace {{\rm{99}}...{\rm{9 }}}_{n\,{\rm{ số\, 9}}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = (10 - 1) + \left( {{{10}^2} - 1} \right) + \left( {{{10}^3} - 1} \right) + \cdots + \left( {{{10}^n} - 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + \cdots + {{10}^n}} \right) - (1 + 1 + \underbrace {......}_{n{\rm{ \,số\, }}1} + 1)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \frac{{10\left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}} - n\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 9n - 10}}{9}\]

\[ \Leftrightarrow B = \frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\].

Vậy \[B = 7 + 77 + 777 + \cdots + \underbrace {{\rm{77}}...{\rm{7 }}}_{n{\rm{ \,số\, 7}}} = \frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}\].

Đáp án đúng là: B

Đặt \[{v_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{{{u_{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{1}{3}\;{v_{\rm{n}}}}\\{{v_1} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\]

Suy ra \[{\rm{S}} = \sum\limits_1^{10} {\;{v_{\rm{n}}}} \] trong đó là cấp số nhân với công sai \[{\rm{q}} = \frac{1}{3}\].

Do đó \[{\rm{S}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{29\,\,524}}{{59\,\,049}}\].