Bài tập Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số nhân lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên b² = ac.

Xét \[(a + b + c) \cdot (a - b + c) = [(a + c) + b] \cdot [(a + c) - b]\]

\[ = {(a + c)^2} - {b^2} = {a^2} + 2ac + {c^2} - {b^2}\]

\[ = {{\rm{a}}^2} + 2\;{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}\left( {{\rm{ \,vì\, ac}} = {{\rm{b}}^2}} \right)\]

\[ = {{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}\].

Đáp án đúng là: A

Vì a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

a.d = bc; ac = b² và bd= c².

Ta có: \[{\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} + {\left( {d - b} \right)^2}\]

\[ = {a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + {d^2} - 2bc - 2ca - 2bd\]

\[ = {a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + {d^2} - 2ad - 2{b^2} - 2{c^2}\]

\[ = {{\rm{a}}^2} - 2{\rm{ad}} + {{\rm{d}}^2} = {({\rm{a}} - {\rm{d}})^2}\].

Đáp án đúng là: C

Do a,b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

\[{\rm{ac}} = {{\rm{b}}^2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{c^3} = {b^2}{c^2}}\\{{a^3}c = {b^2}{a^2}}\\{{a^2}{c^2} = {b^4}}\end{array}} \right.\]

Ta có: \[{a^2} \cdot {b^2} \cdot {c^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right)\]

\[ = \frac{{{b^2}{c^2}}}{a} + \frac{{{a^2}{c^2}}}{b} + \frac{{{a^2}{b^2}}}{c}\]

\[ = \frac{{a{c^3}}}{a} + \frac{{{b^4}}}{b} + \frac{{{a^3}c}}{c} = {a^3} + {b^3} + {c^3}\].

Đáp án đúng là: B

Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ac = b².

Ta chứng minh:

\[\frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right) \cdot \sqrt[3]{{abc}} = {\left[ {\sqrt {\frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)} } \right]^2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)\sqrt[3]{{{b^3}}} = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)b = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {ab + {b^2} + cb} \right) = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right) = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\] (luôn đúng)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[{u_{k - m}} \cdot {u_{k + m}} = {u_1} \cdot {q^{k - m - 1}} \cdot {u_1} \cdot {q^{k + m - 1}}\]

\[ = u_1^2 \cdot {q^{2k - 2}} = {\left( {{u_1} \cdot {q^{k - 1}}} \right)^2} = u_k^2\].

Đáp án đúng là: A

Do 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân.

Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có: b = aq và c = aq².

\[\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = \left( {{a^2} + {a^2}{q^2}} \right)\left( {{a^2}{q^2} + {a^2}{q^4}} \right)\]

\[ = {a^2}\left( {1 + {q^2}} \right) \cdot {a^2}{q^2}\left( {1 + {q^2}} \right) = {a^4}{q^2}{\left( {1 + {q^2}} \right)^2}\] (1)

\[{(ab + bc)^2} = {\left( {a \cdot aq + aq \cdot a{q^2}} \right)^2} = {\left( {{a^2}q + {a^2}{q^3}} \right)^2}\]

\[ = {\left[ {{a^2}q\left( {1 + {q^2}} \right)} \right]^2} = {a^4}{q^2}{\left( {1 + {q^2}} \right)^2}\]             (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra \[\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = {(ab + bc)^2}\].

Đáp án đúng là: A

Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a + c = 2b.

Lại có: \[a + b + c = \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow 3b = \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow b = \frac{\pi }{4}\].

Suy ra \[a + c = \frac{\pi }{2}\].

Ta có: \[\tan a \cdot \tan c = \tan a \cdot \tan \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\]

\[ = \tan a \cdot \cot a = 1 = {\tan ^2}\frac{\pi }{4} = {\tan ^2}b\].

Do đó tan a. tan c = tan²b.

Vậy tan a; tan b; tan c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.

Đáp án đúng là: C

Do 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

\[{{\rm{b}}^2} = {\rm{ac \,và\, }}{{\rm{b}}^4} = {{\rm{a}}^2} \cdot {{\rm{c}}^2}\]

\[ \Rightarrow {b^2} - ac = 0\,\,{\rm{và\, }}{b^4} - {a^2}{c^2} = 0\quad (*)\]

Ta chứng minh: \[\frac{{{b^4}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{ab}} = \frac{{{a^2} \cdot {c^2}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} - \frac{{ac}}{{ab}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{b^4}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} - \frac{{{a^2} \cdot {c^2}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{ab}} - \frac{{ac}}{{ab}}\quad (1)\]

Từ (*), lại có: \[\frac{{{b^4}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} - \frac{{{a^2} \cdot {c^2}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} = \frac{{{b^4} - {a^2} \cdot {c^2}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} = 0\]               ( 2)

Và  \[\frac{{{b^2}}}{{ab}} - \frac{{ac}}{{ab}} = \frac{{{b^2} - ac}}{{ab}} = 0\]                     (3)

Từ (1),(2) và (3) ta có điều phải chứng minh.