Để đo khoảng cách từ vị trí \(A\) trên bờ sông đến vị trí \(B\) của con tàu bị mắc cạn gần một cù lao giữa sông, bạn Minh đi dọc bờ sông từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) cách \(A\) một khoảng bằng \(50{\rm{\;m}}\) và đo các góc \(\widehat {BAC} = 70^\circ \), \(\widehat {BCA} = 50^\circ \) như hình minh hoạ dưới đây. Tính khoảng cách \(AB\) theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) tại vị trí quả bóng rời chân Messi.

• Trục \(Ox\) theo phương ngang.
• Trục \(Oy\) theo phương thẳng đứng.

Quỹ đạo là một parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).

• Quả bóng bắt đầu tại gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow c = 0\).
• Đỉnh của parabol là điểm \(I\left( {16;4} \right)\):
• Đỉnh thuộc \(\left( P \right) \Rightarrow 4 = a \cdot {16^2} + b \cdot 16 \Rightarrow 256a + 16b = 4\).
• Tọa độ hoành độ đỉnh \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 16 \Rightarrow b = - 32a\).

Thay \(b = - 32a\) vào phương trình: \(256a + 16\left( { - 32a} \right) = 4 \Rightarrow - 256a = 4 \Rightarrow a = - \frac{1}{{64}}\).  

Suy ra \(b = - 32 \cdot \left( { - \frac{1}{{64}}} \right) = \frac{1}{2}\).

Do đó, phương trình parabol là: \(y = - \frac{1}{{64}}{x^2} + \frac{1}{2}x\).

Hàng rào chắn cách điểm đá phạt \(10{\rm{\;m}}\), ứng với \(x = 10\). Độ cao của quả bóng tại vị trí hàng rào là:

\(y\left( {10} \right) = - \frac{1}{{64}}{\left( {10} \right)^2} + \frac{1}{2}\left( {10} \right) = - \frac{{100}}{{64}} + 5 = - 1,5625 + 5 = 3,4375 \approx 3,44{\rm{\;m}}\).

Chọn D

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD = BC\) và \(AD{\rm{//}}BC\).

Lại có \(N\) là trung điểm \(AD\) và \(M\) là trung điểm \(BC\), do đó: \(AN = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC = MC\).

Vì \(N \in AD\) và \(M \in BC\) nên đoạn thẳng \(AN\) song song và bằng đoạn thẳng \(MC\).

Do đó, vectơ \(\overrightarrow {MC} \) và \(\overrightarrow {AN} \) cùng hướng và có cùng độ dài, suy ra: \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AN} \).

Biến đổi VT của đẳng thức cần chứng minh: \({\rm{VT}} = \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NC} \).

Áp dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng vectơ: \({\rm{VT}} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AC} = {\rm{VP}}\).

Vậy \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AC} \) (điều phải chứng minh).