Ba đài quan sát E, F, G tạo thành một tam giác có tổng chu vi là 42 km. Khoảng cách FG = 14 km, khoảng cách EF = 12 km. Một tuyến cáp quang EH được kéo thẳng từ E, chia đôi góc FEG (H nằm trên tuyến đường FG). Tính chiều dài của đoạn cáp ngầm HG (đơn vị: km).

Lúc 6 giờ sáng, bạn Hải đi xe đạp (điểm A) đến trường B phải leo lên và xuống một con dốc với đỉnh dốc tại điểm C (như hình vẽ). Điểm H là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho CH đường là phân giác \(\widehat {ACB},\) AH = 0,32 km và BH = 0,4 km. Biết bạn Hải đi xe đạp đến C lúc 6 giờ 30 phút với tốc độ trung bình lên dốc là 4 km/h. Hỏi bạn Hải đến trường lúc mấy giờ nếu tốc độ trung bình xuống dốc là 10 km/h.

Nhà bạn Hoa ở vị trí K, nhà bạn Phương ở vị trí A (như hình bên dưới), biết rằng tứ giác ABCD là hình thoi và K là trung điểm của BC. Hai bạn đi xe đạp với cùng một vận tốc trên con đường AK để đi đến điểm H. Bạn Hoa xuất phát lúc 8 giờ. Hỏi bạn Phương phải xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Hoa lúc 8 giờ 15 phút tại điểm H?

Hai ngư dân A, B đứng ở hai bên bờ sông cách một cái lều M lần lượt là 14 m; 20 m và cùng nhìn thấy một cù lao C trên sông (được mô tả như hình vẽ) sao cho \(\widehat {ACM} = \widehat {MCB}.\) Hỏi tỉ số khoảng cách của ngư dân A và B đến cù lao C trên sông là bao nhiêu?

Nhà bạn Bảo ở vị trí M, nhà bạn Lan ở vị trí D (như hình bên dưới), biết rằng tứ giác ABCD là hình thoi và AB = 3AM. Hai bạn đi bộ với cùng một vận tốc trên con đường MD để đi đến điểm I. Bạn Lan xuất phát lúc 7 giờ. Hỏi bạn Bảo phải xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Lan lúc 7 giờ 30 phút tại điểm I?

Ba bạn Mai, Lan, Điệp hẹn gặp nhau tại nhà bạn Lan, biết rằng nhà bạn Mai ở vị trí A, nhà bạn Lan ở vị trí G và nhà bạn Điệp ở vị trí M (được mô tả như hình vẽ). Biết rằng tứ giác ABCD là hình vuông và M là trung điểm của CD. Quãng đường bạn Điệp đi từ nhà tới nhà bạn Lan là 3 km. Hỏi bạn Mai phải đi quãng đường ngắn nhất từ nhà tới nhà bạn Lan là bao nhiêu kilômét để gặp Lan và Điệp?

Hai vận động viên thi chạy Marathon xuất phát tại điểm A cùng một thời điểm, chạy theo hai hướng khác nhau đến B và C. Sau t phút hai người đó gặp nhau tại D (được mô tả như hình vẽ). Cho độ dài AB = 3 km; AC = 3,5 km; BC = 5 km và \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}.\)Hỏi trong t phút đầu tiên vận động viên nào chạy nhanh hơn?

Một chiếc thuyền xuất phát từ vị trí I chở hàng cho hai hòn đảo A và B theo phương thẳng (được minh họa như trong hình vẽ). Một người đứng ở vị trí K trên bờ quan sát ba điểm thẳng hàng I, A, B. Người đó nhận thấy góc nhìn đến hai điểm I, A thì bằng góc nhìn đến hai điểm A, B, tức là \(\widehat {IKA} = \widehat {AKB}.\) Biết rằng thuyền đi từ vị trí I đến hòn đảo A là 500 m; từ hòn đảo A đến hòn đảo B là 6 km và khoảng cách từ người đó đến vị trí I là 1 km. Tính khoảng cách từ người đó (vị trí K) đến hòn đảo B?