Cho parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\). Điểm nào sau đây là đỉnh của \(\left( P \right)\)?

Cách 1: Sử dụng tích vô hướng vectơ

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AD}  = k\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} \).

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = 0\).

Để \(AC \bot DM\), điều kiện cần và đủ là:

\(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {DM}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {k\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow k{\overrightarrow {AB} ^2} - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + k\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AB}  - {\overrightarrow {AD} ^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow k \cdot A{B^2} - A{D^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow k \cdot {3^2} - {4^2} = 0 \Leftrightarrow 9k - 16 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{16}}{9}\).

Cách 2: Sử dụng hệ trục tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) với gốc \(A\left( {0;0} \right)\), tia \(Ax\) chứa \(B\), tia \(Ay\) chứa \(D\).

Tọa độ các đỉnh là \(A\left( {0;0} \right)\), \(B\left( {3;0} \right)\), \(D\left( {0;4} \right)\), \(C\left( {3;4} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AB}  = \left( {3k;0} \right) \Rightarrow M\left( {3k;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3;4} \right)\) và \(\overrightarrow {DM}  = \left( {3k; - 4} \right)\).

\(AC \bot DM \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {DM}  = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot \left( {3k} \right) + 4 \cdot \left( { - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 9k - 16 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{16}}{9}\).

Vậy \(k = \frac{{16}}{9}\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) với:

Trục \(Ox\) trùng với mặt đất.

Gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) là trung điểm của khoảng cách giữa hai chân cổng.

Trục đối xứng \(Oy\) đi qua đỉnh của cổng parabol.

Khi đó:

Khoảng cách giữa hai chân cổng là \(8{\rm{\;m}}\) nên tọa độ hai chân cổng là \(A\left( { - 4;0} \right)\) và \(B\left( {4;0} \right)\).

Phương trình parabol \(\left( P \right)\) có dạng: \(y = a{x^2} + c\) (với \(a < 0\), \(c\) là chiều cao đỉnh cổng).

Vì \(\left( P \right)\) đi qua chân cổng \(B\left( {4;0} \right)\) nên \(a \cdot {4^2} + c = 0 \Rightarrow 16a + c = 0 \Rightarrow c =  - 16a\).

Một điểm \(C\) trên mặt đất cách chân cổng \(A\left( { - 4;0} \right)\) một khoảng \(0,5{\rm{\;m}}\) có hoành độ là:

\({x_C} =  - \left( {4 - 0,5} \right) =  - 3,5\).

Do đó điểm \(D\left( { - 3,5;2,93} \right) \in \left( P \right)\) nên \(a \cdot {\left( { - 3,5} \right)^2} + c = 2,93 \Rightarrow 12,25a + c = 2,93\).

Thay \(c =  - 16a\) vào phương trình trên:

\(12,25a - 16a = 2,93 \Rightarrow  - 3,75a = 2,93 \Rightarrow a =  - \frac{{2,93}}{{3,75}} =  - \frac{{293}}{{375}}\).

Từ đó tính chiều cao \(c\) của cổng: \(c =  - 16 \cdot \left( { - \frac{{293}}{{375}}} \right) = \frac{{4688}}{{375}} \approx 12,5013{\rm{\;m}}\).

Làm tròn kết quả đến hàng phần chục, chiều cao của cổng parabol xấp xỉ \(12,5{\rm{\;m}}\).