PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Bác Dũng muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang \(32{\rm{\;cm}}\) thành một máng dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông (như hình vẽ). Để đảm bảo kỹ thuật, diện tích mặt cắt ngang của máng dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng \(120{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\). Khi đó máng dẫn nước phải có độ cao ít nhất là bao nhiêu xentimét?

Đáp số: __.

Cách 1: Sử dụng tích vô hướng vectơ

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AD}  = k\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} \).

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = 0\).

Để \(AC \bot DM\), điều kiện cần và đủ là:

\(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {DM}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {k\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow k{\overrightarrow {AB} ^2} - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + k\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AB}  - {\overrightarrow {AD} ^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow k \cdot A{B^2} - A{D^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow k \cdot {3^2} - {4^2} = 0 \Leftrightarrow 9k - 16 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{16}}{9}\).

Cách 2: Sử dụng hệ trục tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) với gốc \(A\left( {0;0} \right)\), tia \(Ax\) chứa \(B\), tia \(Ay\) chứa \(D\).

Tọa độ các đỉnh là \(A\left( {0;0} \right)\), \(B\left( {3;0} \right)\), \(D\left( {0;4} \right)\), \(C\left( {3;4} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AB}  = \left( {3k;0} \right) \Rightarrow M\left( {3k;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3;4} \right)\) và \(\overrightarrow {DM}  = \left( {3k; - 4} \right)\).

\(AC \bot DM \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {DM}  = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot \left( {3k} \right) + 4 \cdot \left( { - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 9k - 16 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{16}}{9}\).

Vậy \(k = \frac{{16}}{9}\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) với:

Trục \(Ox\) trùng với mặt đất.

Gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) là trung điểm của khoảng cách giữa hai chân cổng.

Trục đối xứng \(Oy\) đi qua đỉnh của cổng parabol.

Khi đó:

Khoảng cách giữa hai chân cổng là \(8{\rm{\;m}}\) nên tọa độ hai chân cổng là \(A\left( { - 4;0} \right)\) và \(B\left( {4;0} \right)\).

Phương trình parabol \(\left( P \right)\) có dạng: \(y = a{x^2} + c\) (với \(a < 0\), \(c\) là chiều cao đỉnh cổng).

Vì \(\left( P \right)\) đi qua chân cổng \(B\left( {4;0} \right)\) nên \(a \cdot {4^2} + c = 0 \Rightarrow 16a + c = 0 \Rightarrow c =  - 16a\).

Một điểm \(C\) trên mặt đất cách chân cổng \(A\left( { - 4;0} \right)\) một khoảng \(0,5{\rm{\;m}}\) có hoành độ là:

\({x_C} =  - \left( {4 - 0,5} \right) =  - 3,5\).

Do đó điểm \(D\left( { - 3,5;2,93} \right) \in \left( P \right)\) nên \(a \cdot {\left( { - 3,5} \right)^2} + c = 2,93 \Rightarrow 12,25a + c = 2,93\).

Thay \(c =  - 16a\) vào phương trình trên:

\(12,25a - 16a = 2,93 \Rightarrow  - 3,75a = 2,93 \Rightarrow a =  - \frac{{2,93}}{{3,75}} =  - \frac{{293}}{{375}}\).

Từ đó tính chiều cao \(c\) của cổng: \(c =  - 16 \cdot \left( { - \frac{{293}}{{375}}} \right) = \frac{{4688}}{{375}} \approx 12,5013{\rm{\;m}}\).

Làm tròn kết quả đến hàng phần chục, chiều cao của cổng parabol xấp xỉ \(12,5{\rm{\;m}}\).