Cho tam giác đều \(ABC\) có độ dài cạnh là \(a\) và \(G\) là trọng tâm. 

Cách 1: Sử dụng tích vô hướng vectơ

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AD}  = k\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} \).

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = 0\).

Để \(AC \bot DM\), điều kiện cần và đủ là:

\(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {DM}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {k\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow k{\overrightarrow {AB} ^2} - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + k\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AB}  - {\overrightarrow {AD} ^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow k \cdot A{B^2} - A{D^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow k \cdot {3^2} - {4^2} = 0 \Leftrightarrow 9k - 16 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{16}}{9}\).

Cách 2: Sử dụng hệ trục tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) với gốc \(A\left( {0;0} \right)\), tia \(Ax\) chứa \(B\), tia \(Ay\) chứa \(D\).

Tọa độ các đỉnh là \(A\left( {0;0} \right)\), \(B\left( {3;0} \right)\), \(D\left( {0;4} \right)\), \(C\left( {3;4} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AB}  = \left( {3k;0} \right) \Rightarrow M\left( {3k;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3;4} \right)\) và \(\overrightarrow {DM}  = \left( {3k; - 4} \right)\).

\(AC \bot DM \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {DM}  = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot \left( {3k} \right) + 4 \cdot \left( { - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 9k - 16 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{16}}{9}\).

Vậy \(k = \frac{{16}}{9}\).

Ta có: \( - 36{x^2} + 12x - 1 =  - \left( {36{x^2} - 12x + 1} \right) =  - {\left( {6x - 1} \right)^2}\).

Vì \({\left( {6x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên \( - {\left( {6x - 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Do đó bất phương trình chỉ thỏa mãn khi dấu bằng xảy ra: \( - {\left( {6x - 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{6}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{ {\frac{1}{6}} \right\}\).