Cho hai tập hợp \(A = \left( { - \infty ;4} \right]\) và \(B = \left[ {1;6} \right)\). Xác định tập hợp \(A \cup B\).

Thời gian đi đoạn đường bằng \(AC\): \({t_{AC}} = \frac{{AC}}{{{v_1}}} = \frac{{10}}{{100}} = 0,1\) (giờ).

Tính độ dài hai đoạn dốc \(CD\) và \(DB\):

Trong tam giác \(BCD\), ta có: \(\widehat {BDC} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {DCB} + \widehat {DBC}} \right) = 180^\circ  - \left( {45^\circ  + 30^\circ } \right) = 105^\circ \).

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(BCD\): \(\frac{{CD}}{{\sin \left( {\widehat {DBC}} \right)}} = \frac{{DB}}{{\sin \left( {\widehat {DCB}} \right)}} = \frac{{BC}}{{\sin \left( {\widehat {BDC}} \right)}}\).

Suy ra \(CD = BC \cdot \frac{{\sin 30^\circ }}{{\sin 105^\circ }} = 20 \cdot \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}}} = \frac{{40}}{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }} = 10\left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right){\rm{\;(km)}}\);

\(DB = BC \cdot \frac{{\sin 45^\circ }}{{\sin 105^\circ }} = 20 \cdot \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}}} = \frac{{40\sqrt 2 }}{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }} = 20\left( {\sqrt 3  - 1} \right){\rm{\;(km)}}\).

Thời gian leo dốc \(CD\): \({t_{CD}} = \frac{{CD}}{{{v_2}}} = \frac{{10\left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right)}}{{10}} = \sqrt 6  - \sqrt 2 \) (giờ).

Thời gian xuống dốc \(DB\): \({t_{DB}} = \frac{{DB}}{{{v_3}}} = \frac{{20\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{50}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{5}\) (giờ).

Tổng thời gian hoàn thành chặng đường từ \(A\) đến \(B\):

\(t = {t_{AC}} + {t_{CD}} + {t_{DB}} = 0,1 + \left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right) + \frac{{2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{5} \approx 1,428\) (giờ).

Kết luận: Vận động viên mất khoảng \(1,428\) giờ (khoảng \(1\) giờ \(25{\rm{\;ph\'u t\;}}\,\,41{\rm{\;gi\^a y}}\)) để hoàn thành chặng đường.

Vẽ các đường thẳng ranh giới trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\):

Trục \(Ox:y = 0\) và trục \(Oy:x = 0\).

Đường thẳng \({d_1}:x + y = 6\) đi qua \(\left( {0;6} \right)\) và \(\left( {6;0} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:3x + y = 9\) đi qua \(\left( {0;9} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\).

Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình:

\(x \ge 0\): Nửa mặt phẳng bên phải trục \(Oy\).

\(y \ge 0\): Nửa mặt phẳng bên trên trục \(Ox\).

\(x + y \le 6\): Thử điểm \(O\left( {0;0} \right)\), ta có \(0 + 0 = 0 \le 6\) (đúng), miền nghiệm chứa gốc tọa độ \(O\).

\(3x + y \le 9\): Thử điểm \(O\left( {0;0} \right)\), ta có \(3 \cdot 0 + 0 = 0 \le 9\) (đúng), miền nghiệm chứa gốc tọa độ \(O\).

Miền nghiệm của hệ:

Miền nghiệm của hệ là tứ giác \(OABC\) (bao gồm cả các cạnh), với tọa độ các đỉnh:

\(O\left( {0;0} \right)\)

\(A\left( {3;0} \right)\) (giao điểm của \({d_2}\) với \(Ox\))

\(B\left( {1,5;4,5} \right)\) (nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 6}\\{3x + y = 9}\end{array}} \right.\))

\(C\left( {0;6} \right)\) (giao điểm của \({d_1}\) với \(Oy\)).