Cho các điểm \(A\left( {2;\,\,4} \right)\), \(B\left( { - 2;\,\,0} \right)\) và \(C\left( {0;\,\,4} \right)\). Tính diện tích tam giác \(ABC\) (đơn vị diện tích)?

Đáp án: a) Đúng.                    b) Đúng.            c) Sai.            d) Đúng.

Ta có đồ thị như hình vẽ trên

a) Đúng. Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 3x - 1\) có hệ số góc là \({a_1} = 3\).

b) Đúng. Hoành độ giao điểm \(A\) của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là nghiệm phương trình:

\(3x - 1 =  - \frac{1}{3}x + 9\)

\(\frac{{10}}{3}x = 10\)

\(x = 3\)

Thay \(x = 3\) vào \(\left( {{d_1}} \right)\) ta được \(y = 3 \cdot 3 - 1 = 8\) suy ra \(A\left( {3;\,\,8} \right)\).

c) Sai. Cho \(x = 0\) vào \(\left( {{d_2}} \right)\) ta được \(y = 9\), suy ra giao điểm của \(\left( {{d_2}} \right)\) với \(Oy\) là \(B\left( {0;\,\,9} \right).\)

Cho \(y = 0\) vào \(\left( {{d_2}} \right)\) ta được \(x = 27\), suy ra giao điểm của \(\left( {{d_2}} \right)\) với \(Ox\) là \(C\left( {27;\,\,0} \right)\).

d) Đúng. Vì \(B \in Oy\) và \(C \in Ox\)  nên \(B\left( {0;\,\,9} \right)\) và \(C\left( {27;\,\,0} \right)\) chính là hai điểm thuộc đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y =  - \frac{1}{3}x + 9\).

Do đó, cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\) nằm hoàn toàn trên đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\).

Mà \(A \in \left( {{d_2}} \right)\) nên \(A\) trùng với điểm trên đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\).

Chân đường cao \(H\) kẻ từ \(A\) xuống đường thẳng \(BC\) (chính là đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\)) phải trùng với điểm \(A\).

Tọa độ \(H\) chuẩn xác là \(H\left( {3;\,\,8} \right)\).

Đổi  \(4\frac{4}{9}\) giờ \( = \frac{{40}}{9}\) (giờ)  và \(1\frac{1}{4}\) (giờ) \( = \frac{5}{4}\) (giờ).

Gọi thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là \(x\) (giờ).

Điều kiện: \(x > \frac{{40}}{9}\).

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được \(\frac{1}{x}\) (bể).

Vì mỗi giờ lượng nước vòi 1 chảy bằng \[\frac{5}{4}\] lượng nước vòi 2, nên trong 1 giờ vòi 1 chảy được \[\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{{4x}}\] (bể).

Trong 1 giờ, cả hai vòi cùng chảy được: \(1:\frac{{40}}{9} = \frac{9}{{40}}\) (bể).

Theo bài ra, ta có phương trình: \(\frac{5}{{4x}} + \frac{1}{x} = \frac{9}{{40}}\).

Giải phương trình: 

\(\frac{5}{{4x}} + \frac{1}{x} = \frac{9}{{40}}\)

\(\frac{5}{{4x}} + \frac{4}{{4x}} = \frac{9}{{40}}\)

\(\frac{9}{{4x}} = \frac{9}{{40}}\)

\(4x = 40\)

\(x = 10\) (thỏa mãn)

Vậy thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là 10 giờ.

Đáp án: 10.