Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Biết MN = \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Tính tang của góc giữa hai đường thẳng AB và CD. (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 2,8
Gọi P là trung điểm của cạnh AC
Trong tam giác ABC, M là trung điểm BC và P là trung điểm AC:
⇒ MP là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}MP\parallel AB\\MP = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\end{array} \right.\)
Trong tam giác ACD, N là trung điểm AD và P là trung điểm AC:
⇒ PN là đường trung bình của tam giác ACD ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}PN\parallel CD\\PN = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}\end{array} \right.\)
Do MP ∥ AB và PN ∥ CD, góc giữa hai đường thẳng AB và CD chính bằng góc giữa hai đường thẳng MP và PN: (AB, CD) = (MP, PN)
Áp dụng Định lý Cosin tại đỉnh P trong △MPN:
cos\(\widehat {MPN}\) = \(\frac{{M{P^2} + P{N^2} - M{N^2}}}{{2 \cdot MP \cdot PN}}\) = \(\frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}}{{2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}}}\) = \( - \frac{1}{3}\)
Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và CD
Vì góc giữa hai đường thẳng nằm trong khoảng [0°; 90°]:
cos α = \(\left| {\cos \widehat {MPN}} \right| = \left| { - \frac{1}{3}} \right| = \frac{1}{3}\)
Áp dụng công thức lượng giác cơ bản: 1 + tan2 α = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\):
tan2 α = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) – 1 = \(\frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}}\) – 1 = 9 – 1 = 8
⇒ tan α = \(\sqrt 8 \) ≈ 2,8.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
Do đó, AH vuông góc với (BCD).
ABCD là tứ diện đều tất cả các cạnh bằng nhau nên tam giác BCD đều.
Gọi E là trung điểm của CD ⇒ BE vuông góc với CD.
Do AH vuông góc với (BCD) nên AH vuông góc với CD.
Ta có: .Lời giải
Đáp án đúng là: D
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD
Ta có: OJ // CD
Nên (IJ, CD) = (IJ, OJ)
Nên góc giữa IOJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ
Xét tam giác IOJ có:
Nên tam giác IOJ đều
Vậy (IJ, CD) = (IJ, OJ) = = .
Câu 3
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập