Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = AD = a, AA′ = b. Gọi M là trung điểm của CC′. Xác định tỉ số \(\frac{a}{b}\) để hai mặt phẳng (A′BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Hai mặt phẳng vuông góc lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 1
Ta có: (A′BD) ∩ (MBD) = BD
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Vì ABCD là hình chữ nhật và AB = AD ⇒ ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD
⇒ OA ⊥ BD, OC ⊥ BD
Lại có: AA′ ⊥ (ABCD) ⇒ AA′ ⊥ BD, CC′ ⊥ (ABCD) ⇒ CC′ ⊥ BD
Do BD cùng vuông góc với hai đường thẳng OA và AA′ cùng thuộc mặt phẳng (AA′O)
⇒ BD ⊥ (AA′O) ⇒ A′O ⊥ BD
Chứng minh tương tự ⇒ BD ⊥ (OCC′) ⇒ OM ⊥ BD
Mà A′O ⊂ (A′BD), OM ⊂ (MBD)
⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (MBD) là \(\widehat {A'OM}\)
Để (A′BD) ⊥ (MBD) thì A′O ⊥ OM
⇔ Tam giác A′OM vuông tại O ⇔ A′M2 = A′O2 + OM2 (theo định lý Pytago) (*)
* Ta có: AO = \(\frac{{AC}}{2}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Do AA′ ⊥ OA ⇒ Tam giác A′AO vuông tại A
⇒ A′O2 = OA2 + AA′2 = \(\frac{{{a^2}}}{2}\) + b2 (định lý Pytago) (1)
* Xét tam giác OCM: CC′ ⊥ (ABCD), OC ⊂ (ABCD) ⇒ OC ⊥ CM ⇒ Tam giác OCM vuông tại C
Lại có: OC = \(\frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), vì M là trung điểm của CC′: CM = \(\frac{{CC'}}{2} = \frac{b}{2}\)
Áp dụng định lý Pytago: OM2 = OC2 + CM2 = \(\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{b^2}}}{4}\) (2)
* Vì M là trung điểm của CC′: C′M = \(\frac{{CC'}}{2} = \frac{b}{2}\)
Vì ABCD.A′B′C′D′ là hình hộp chữ nhật ⇒ A′C′ ⊥ CC′ ⇒ tam giác A′C′M vuông tại C′
Xét tam giác A′C′M vuông tại C′:
A′M2 = A′C′2 + C′M2 = \({\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2}\) = 2a2 + \(\frac{{{b^2}}}{4}\) (định lý Pytago) (3)
Thay (1), (2), (3) vào (*), ta được:
2a2 + \(\frac{{{b^2}}}{4}\) = \(\left( {{b^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right)\) + \(\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{b^2}}}{4}} \right)\) ⇔ a2 = b2
Vì a, b > 0 nên \(\frac{a}{b}\) = 1.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 3
Theo giả thiết, ta có: (SAB) ⊥ (ABCD), (SAB) ∩ (ABCD) = AB, BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông)
⇒ BC ⊥ (SAB). Mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB)
Tương tự, ta có:
(SAB) ⊥ (ABCD), (SAB) ∩ (ABCD) = AB, AD ⊥ AB (do ABCD là hình vuông)
⇒ AD ⊥ (SAB). Mà AD ⊂ (SAD) ⇒ (SAD) ⊥ (SAB)
Xét mặt phẳng (SCD):
Ta có: CD ∥ AB ⇒ Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB, CD
Trong mặt phẳng (SCD), kẻ SI ⊥ CD (I ∈ CD). Vì d ∥ CD ⇒ SI ⊥ d
Trong mặt phẳng (SAB), kẻ SJ ⊥ AB (J ∈ AB). Vì d ∥ AB ⇒ SJ ⊥ d
Hai đường thẳng SI và SJ cùng vuông góc với giao tuyến d tại S nên góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB) là \(\widehat {ISJ}\) ≠ 90°
⇒ Mặt phẳng (SCD) không vuông góc với mặt phẳng (SAB).
Vậy có đúng 3 mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB) là (ABCD), (SBC), (SAD).
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 0
Ta có: SA ⊥ (ABCD), SA ⊂ (SAB)
⇒ Mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
⇒ (SAB) ⊥ (ABCD)
Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là α = 90°
⇒ cos α = cos 90° = 0.
Câu 3
A. (SBD) ⊥ (SAC).
B. (SAB) ⊥ (SAD).
C. (SAB) ⊥ (ABCD).
D. (SAD) ⊥ (SCD).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. (SBC) ⊥ (ABCD).
B. (SBC) ⊥ (SCD).
C. (SBC) ⊥ (SAD).
D. (SBC) ⊥ (SAB).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
SC ⊥ (ABC);
(SAH) ⊥ (SBC);
O ∈ SC;
Góc giữa (SBC) và (ABC) là góc \(\widehat {SBA}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. (SBC) ⊥ (IHB).
B. (SAC) ⊥ (SAB).
C. (SAC) ⊥ (SBC).
D. (SBC) ⊥ (SAB).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập