Bài tập Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Tam giác BCD cân tại B có I là trung điểm đáy CD ⇒ CD ⊥ BI (1).

Tam giác ACD cân tại A có I là trung điểm đáy CD ⇒ CD ⊥ AI (2).

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là \(\widehat {AIB}\). Suy ra đáp án B đúng.

(1) và (2) ⇒ CD ⊥ (ABI).

Mà CD ⊂ (BCD) ⇒ (BCD) ⊥ (ABI). Suy ra đáp án C đúng.

CD ⊂ (ACD) ⇒ (ACD) ⊥ (ABI). Suy ra đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: D

Vì SA ⊥ (ABC) mà SA ⊂ (SAB) ⇒ (SAB) ⊥ (ABC). Do đó đáp án A đúng.

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB mà AB ⊥ AC suy ra AB ⊥ (SAC).

Lại có AB ⊂ (SAB) nên (SAB) ⊥ (SAC). Do đó đáp án B đúng.

Có AH ⊥ BC và BC ⊥ SA (do SA ⊥ (ABC)) do đó BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng \(\widehat {SHA}\). Do đó đáp án C đúng.

Vậy đáp án D sai.

Đáp án đúng là: C

Vì AB ⊥ (BCD) nên AB ⊥ CD mà BE ⊥ CD suy ra CD ⊥ (ABE).

Lại có CD ⊂ (ADC) nên (ADC) ⊥ (ABE). Do đó đáp án A đúng.

Vì AB ⊥ (BCD) nên AB ⊥ DF mà DF ⊥ BC suy ra DF ⊥ (ABC) ⇒ DF ⊥ AC.

Lại có DK ⊥ AC nên AC ⊥ (DFK).

Mặt khác AC ⊂ (ADC) suy ra (ADC) ⊥ (DFK). Do đó đáp án B đúng.

Vì CD ⊥ (ABE) mà CD ⊂ (BCD) suy ra (BDC) ⊥ (ABE). Do đó đáp án D đúng.

Vậy đáp án C sai.

Đáp án đúng là: D

Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD.

Do SB ⊥ (ABCD) ⇒ SB ⊥ AC mà AC ⊥ BD nên AC ⊥ (SBD).

Lại có AC ⊂ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (SBD).

Đáp án đúng là: A

Vì ∆ABC cân tại B, BI là đường trung tuyến nên BI đồng thời là đường cao.

Suy ra BI ⊥ AC.

Mà SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BI mà BI ⊥ AC nên BI ⊥ (SAC) ⇒ BI ⊥ SC (1).

Lại có IH ⊥ SC (2).

Từ (1) và (2, suy ra SC ⊥ (BIH) mà SC ⊂ (SBC). Do đó (BIH) ⊥ (SBC).

Đáp án đúng là: A

+) Vì BM là trung tuyến của tam giác vuông cân ABC nên BM ⊥ AC.

+) Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BM mà BM ⊥ AC nên BM ⊥ (SAC) ⇒ (SBM) ⊥ (SAC).

+) Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC mà AB ⊥ BC (do ∆ABC vuông cân) nên BC ⊥ (SAB).

Mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB).

Đáp án đúng là: A

Gọi O là giao điểm của AC, BD. Suy ra O là trung điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD (1).

Vì SA = SC nên ∆SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao hay SO ⊥ AC (2).

Từ (1) và (2), suy ra AC ⊥ (SBD) mà AC ⊂ (ABCD) nên (SBD) ⊥ (ABCD).

Đáp án đúng là: A

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Vì AC = BC nên ∆ACB cân tại C, CI là trung tuyến nên CI ⊥ AB (1).

Vì AD = BD nên ∆ADB cân tại D, DI là trung tuyến nên DI ⊥ AB (2).

Từ (1) và (2), suy ra ((ABC), (ABD)) = (DI, CI) = \(\widehat {CID}\).

Để (ABC) ⊥ (ABD) thì \(\widehat {CID} = 90^\circ \) hay \[IJ = \frac{1}{2}CD\] (1).

Vì BC = BD nên ∆BCD cân tại B, BJ là trung tuyên nên BJ ⊥ CD.

Vì \(\left. \begin{array}{l}\left( {ACD} \right) \bot \left( {BCD} \right)\\\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD\\BJ \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow BJ \bot \left( {ACD} \right) \Rightarrow BJ \bot AJ\).

Do đó ∆BIJ vuông tại J, mà JI là trung tuyến nên \[IJ = \frac{{AB}}{2}\] (2).

Vì AC = AD = BC = BD nên ∆BIJ vuông cân tại J.

Do đó \(AB = \sqrt 2 BJ\) mà \(BJ = \sqrt {B{D^2} - D{J^2}} = \sqrt {B{D^2} - \frac{{C{D^2}}}{4}} = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \) (3).

Từ (1), (2) và (3), ta có: \(x = \frac{{\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} }}{2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{a^2}}}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).