Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a. Chiều cao của khối chóp S.ABCD là \(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
b. Góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy (ABCD) có số đo bằng 45°.
c. Côsin của số đo góc nhị diện [S, CD, B] là \(\frac{{\sqrt {15} }}{5}\).
d. Sin của góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Hai mặt phẳng vuông góc lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Khi đó SO ⊥ (ABCD)
Ta có: OA = \(\frac{{AC}}{2}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác SOA vuông tại O:
SO = \(\sqrt {S{A^2} - O{A^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} \) = \(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\) (định lý Pytago)
b) Sai. Vì SO ⊥ (ABCD) nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (ABCD)
Do đó, góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy (ABCD) là góc \(\widehat {SAO}\)
Vì SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ OA ⇒ △SOA vuông tại O
Xét △SOA vuông tại O, ta có:
tan\(\widehat {SAO}\) = \(\frac{{SO}}{{AO}}\) = \(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\) : \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) ⇒ \(\widehat {SAO}\) = 30° ≠ 45°.
c) Đúng. Gọi M là trung điểm của cạnh CD.
Ta có: SC = SD nên trong tam giác cân SCD, SM ⊥ CD.
Trong hình vuông ABCD, AD ⊥ CD. Lại có OM ∥ AD nên OM ⊥ CD.
Vì SM ⊂ (SCD), OM ⊂ (ABCD) và cùng vuông góc với CD nên góc phẳng của nhị diện [S, CD, B] là \(\widehat {SMO}\)
Ta có: OM = \(\frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}\)
Xét tam giác SOM vuông tại O:
SM = \(\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} \) = \(\frac{{a\sqrt {15} }}{6}\) (định lý Pytago)
⇒ cos\(\widehat {SMO}\) = \(\frac{{OM}}{{SM}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt {15} }}{6}}}\) = \(\frac{3}{{\sqrt {15} }} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\).
d) Đúng. Theo câu c), SM⊥CD, OM⊥CD
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là \(\widehat {SMO}\)
Xét tam giác SOM vuông tại O:
sin\(\widehat {SMO}\) = \(\frac{{SO}}{{SM}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{6}}}{{\frac{{a\sqrt {15} }}{6}}}\) = \(\sqrt {\frac{6}{{15}}} \) = \(\sqrt {\frac{2}{5}} \) = \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a. Mặt phẳng (ACC'A') vuông góc với mặt phẳng (BDD'B').
b. Tam giác A'BD là tam giác đều có diện tích bằng \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).
c. Đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (ACC′A′).
d. Tang góc giữa đường thẳng AC′ và mặt phẳng (ABCD) bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Lời giải
Đáp án: a) Đúng.b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O′ là giao điểm của A′C′ và B′D′
Ta có: OO′ ∥ AA′ ∥ CC′ ∥ DD′ (do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương)
Khi đó: (ACC′A′) ∩ (BDD′B′) = OO′ (1)
Trong hình vuông ABCD, AC ⊥ BD (2)
Vì OO′ ⊥ (ABCD) ⇒ AC ⊥ OO′ (3)
⇒ Từ (1), (2), (3) ⇒ AC ⊥ (BDD′B′). Mà AC ⊂ (ACC′A′)
⇒ (ACC′A′) ⊥ (BDD′B′)
b) Sai. Vì ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ BD = \(a\sqrt 2 \)
Xét tam giác vuông A′AB vuông tại A:
A′B= \(\sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2}} \) = \(a\sqrt 2 \) (định lý Pytago)
Do đó: A′B = A′D = BD = \(a\sqrt 2 \) ⇒ tam giác A′BD là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \)
Diện tích tam giác đều là: SA′BD = \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{4} \cdot \) 2a2 = \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) ≠ \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).
c) Đúng. Trong hình vuông ABCD, BD ⊥ AC (1)
Lại có: AA′ ⊥ (ABCD) ⇒ AA′ ⊥ BD (2)
Vì AC và AA′ cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (ACC′A′) (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ BD ⊥ (ACC′A′).
d) Đúng. Hình chiếu vuông góc của C′ lên mặt phẳng (ABCD) là C
⇒ Hình chiếu của đường thẳng AC′ lên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC
Do đó góc giữa AC′ và (ABCD) là góc \(\widehat {CAC'}\)
Xét tam giác vuông ACC′:
tan\(\widehat {CAC'}\) = \(\frac{{CC'}}{{AC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Câu 2
Hình hộp đứng.
Hình hộp chữ nhật.
Hình lập phương.
Hình lăng trụ đều.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Theo định nghĩa, hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Vì hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình chữ nhật nên hình lăng trụ đứng đã cho là hình hộp chữ nhật.
Câu 3
a. Đường thẳng OO' vuông góc với hai mặt phẳng đáy.
b. Các mặt bên của hình chóp cụt đều đã cho là các hình thang cân bằng nhau.
c. Đoạn thẳng OO' có độ dài lớn hơn các cạnh bên AA', BB', CC'.
d. Đoạn thẳng OO' vuông góc với mặt phẳng (ABB'A').
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Hình lăng trụ đứng có đáy là một tam giác bất kì luôn là hình lăng trụ đều.
Hình hộp đứng có đáy là hình thoi luôn là hình lập phương.
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có tất cả các cạnh bằng nhau.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
\(\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{a}{3}\).
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập