Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a và A'B = 3a. Tính góc phẳng nhị diện [B', AC, B]? (Tính theo độ, làm tròn đến hàng phần mười)

Đáp án: a) Đúng.b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O′ là giao điểm của A′C′ và B′D′

Ta có: OO′ ∥ AA′ ∥ CC′ ∥ DD′ (do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương)

Khi đó: (ACC′A′) ∩ (BDD′B′) = OO′ (1)

Trong hình vuông ABCD, AC ⊥ BD (2)

Vì OO′ ⊥ (ABCD) ⇒ AC ⊥ OO′ (3)

⇒ Từ (1), (2), (3) ⇒ AC ⊥ (BDD′B′). Mà AC ⊂ (ACC′A′)

⇒ (ACC′A′) ⊥ (BDD′B′)

b) Sai. Vì ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ BD = \(a\sqrt 2 \)

Xét tam giác vuông A′AB vuông tại A:

A′B= \(\sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2}} \) = \(a\sqrt 2 \) (định lý Pytago)

Do đó: A′B = A′D = BD = \(a\sqrt 2 \) ⇒ tam giác A′BD là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \)

Diện tích tam giác đều là: S_A′BD = \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{4} \cdot \) 2a² = \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) ≠ \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).

c) Đúng. Trong hình vuông ABCD, BD ⊥ AC (1)

Lại có: AA′ ⊥ (ABCD) ⇒ AA′ ⊥ BD (2)

Vì AC và AA′ cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (ACC′A′) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ BD ⊥ (ACC′A′).

d) Đúng. Hình chiếu vuông góc của C′ lên mặt phẳng (ABCD) là C

⇒ Hình chiếu của đường thẳng AC′ lên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC

Do đó góc giữa AC′ và (ABCD) là góc \(\widehat {CAC'}\)

Xét tam giác vuông ACC′:

tan\(\widehat {CAC'}\) = \(\frac{{CC'}}{{AC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án:

Đáp án: 0,8

Ta có: SO′ ⊥ (A′B′C′D′), BD′ ⊂ (A′B′C′D′) ⇒ SO′ ⊥ B′D′ ⇒ O′D′ là hình chiếu vuông góc của SD′ lên (A′B′C′D′).

⇒ (SD′, (ABCD)) = (SD′, O′D′) = \(\widehat {SD'O'}\) = 60°

Xét △SA'D' có AD ∥ A'D', áp dụng định lí Talet, ta có: \(\frac{{SA}}{{SA'}} = \frac{{SD}}{{SD'}} = \frac{{AD}}{{A'D'}}\) = \(\frac{1}{3}\) : 1 = \(\frac{1}{3}\)

Có OA ∥ O'A'

Áp dụng định lý Talet trong △SA'O' có OA ∥ O'A', ta có:

\(\frac{{SA}}{{SA'}} = \frac{{SO}}{{SO'}} = \frac{1}{3}\) ⇒ \(\frac{{AA'}}{{SA'}} = \frac{{OO'}}{{SO'}} = \frac{2}{3}\)

Vì tam giác A′D′C′ là tam giác vuông cân tại D′ có D′O′ là đường cao nên ta có:

\(\frac{1}{{D'{{O'}^2}}} = \frac{1}{{A'{{D'}^2}}} + \frac{1}{{D'{{C'}^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}} = 2\)⇒ D′O′² = \(\frac{1}{2}\) ⇒ D′O′= \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SD′O′ vuông tại O′, ta có:

tan60° = \(\frac{{SO'}}{{O'D'}}\) ⇒ SO′ = O′D′ ⋅ tan60° = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 3 = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

OO′ = \(\frac{2}{3}\) SO′ = \(\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt 6 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\) ≈ 0,8.