Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Xét tính đúng hay sai của các mệnh đề sau:

Đáp án:

Đáp án: 69,3

(B'AC) ∩ (ABC) = AC

Gọi I là trung điểm của AC

Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên đường trung tuyến BI đồng thời là đường cao

⇒ BI ⊥ AC

Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng nên B'B ⊥ (ABC)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BI\\AC \bot B'B\end{array} \right.\) ⇒ AC ⊥ (B'BI) ⇒ AC ⊥ B'I

Do BI ⊂ (ABC), B'I ⊂ (B'AC) và cả hai đường thẳng này cùng vuông góc với giao tuyến AC tại I, nên góc phẳng nhị diện [B', AC, B] chính là góc giữa hai tia IB' và IB, tức là góc \(\widehat {B'IB}\)

Tam giác ABC vuông cân tại B có cạnh huyền AC = 2a

BI = \(\frac{{AC}}{2} = \frac{{2a}}{2}\) = a

Vì △ABC vuông cân tại B nên độ dài các cạnh góc vuông là: AB = BC = \(\frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \)

Vì AA' ⊥ (ABC) ⇒ tam giác A'AB vuông tại A.

Xét tam giác A'AB vuông tại A, theo định lý Pytago:

BB' = AA' = \(\sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \) = \(a\sqrt 7 \)

Xét tam giác B'BI vuông tại B (vì B'B ⊥ BI), ta có:

tan\(\widehat {B'IB}\) = \(\frac{{B'B}}{{BI}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{a} = \sqrt 7 \) ⇒ \(\widehat {B'IB}\) ≈ 69,3°.

Vậy góc phẳng nhị diện [B', AC, B] có số đo xấp xỉ bằng 69,3°.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Vì đáy ABC là tam giác vuông cân tại A (AB = AC = a) nên theo định lý Pytago

BC = \(\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)

Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật

Vì BC ≠ AB nên mặt bên BCC′B′ có kích thước khác hai mặt bên còn lại. Do đó, các mặt bên không có cùng kích thước.

b) Đúng. M là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AM ⊥ BC (đường trung tuyến đồng thời là đường cao).

Do ABC.A′B′C′ là lăng trụ đứng nên AA′ ⊥ (ABC) ⇒ AA′ ⊥ BC.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (A'AM)\)

⇒ BC ⊥ A′M.

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến BC tại M, đó là A′M và AM

Vậy góc giữa hai mặt phẳng chính là góc \[\widehat {A'MA}\].

c) Sai. Xét tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AM ứng với cạnh huyền BC:

AM = \(\frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vì AA′ ⊥ (ABC), AM ⊂ (ABC) ⇒ AA′ ⊥ AM ⇒ ΔA′AM vuông tại A

Trong ΔA′AM vuông tại A, ta có:

tan\[\widehat {A'MA}\] = \(\frac{{AA'}}{{AM}}\) ⇒ AA′ = AM ⋅ tan60° = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) ⋅ tan60° = \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

d) Đúng. Ta có:

(A'BC) ∩ (ABC) = BC

A'M ⊥ BC (A'M ⊂ (A'BC))

AM ⊥ BC (AM ⊥ (ABC))

Do đó, góc phẳng của góc nhị diện [A', BC, A] là góc \(\widehat {A'MA}\)

Theo câu b), góc \[\widehat {A'MA}\] là góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) và bằng 60°

⇒ cos\[\widehat {A'MA}\] = cos60° = \(\frac{1}{2}\).