Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Sai.b) Đúng.c) Sai.d) Đúng.

a) Sai. Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AD \bot AB}\\{AD \bot CD}\end{array}} \right.\) nên d(AB, CD) = AD = a.

b) Đúng. Vì SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ OM

Mặt khác OM ⊥ AB nên ta có OM là đoạn vuông góc chung của AB và SO

Do đó d(SO, AB) = OM = \(\frac{a}{2}\).

c) Sai. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SM

Khi đó vì AB ⊥ (SMO) nên AB ⊥ OH, suy ra OH ⊥ (SAB).

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC và BD

Xét tam giác ABC có O là trung điểm AC và N là trung điểm BC

Suy ra ON là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra ON ∥ AB.

Mà AB ⊂ (SAB) và ON ∉ (SAB) nên ON ∥ (SAB)

Vì thế ta có: d(ON, SB) = d(ON, (SAB)) = d(O, (SAB)) = OH

Xét tam giác OSA vuông tại O ta có:

\(OS = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vì M là trung điểm AB nên \(OM = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\)

Xét tam giác vuông SOM ta có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Vậy d(ON, SB) = \(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

d) Đúng. Trong tam giác ADC gọi G là trọng tâm. Khi đó AG đi qua trung điểm của CD nên AG ∥ CM, suy ra d(CM, SA) = d(CM, (SAG)) = d(C, (SAG)) = 2d(O, (SAG)).

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên AG, SE.

Theo định lý 3 đường vuông góc thì AG ⊥ (SOE), suy ra AG ⊥ OF

Mà F là hình chiếu vuông góc của O lên SE nên OF ⊥ SE

Do đó, OF ⊥ (SAG) tại F

Suy ra d(O, (SAG)) = OF

Vì G là trọng tâm tam giác DAC nên \(OG = \frac{1}{3}DO = \frac{1}{6}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}\)

Xét tam giác SOE vuông tại O ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{O{F^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{G^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{22}}{{{a^2}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow OF = \frac{{a\sqrt {22} }}{{22}}\). Vậy \(d\left( {CM,SA} \right) = \frac{{a\sqrt {22} }}{{11}}\).